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Matrizes

Multiplicação de matrizes

   O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.

   Assim, o produto das matrizes A = ( a_ij) _{m x p}  e B = ( b_ij) _{p x n} é a matriz C = (c_ij) _{m x n} em que cada elemento c_ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

   Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada C_ij:

• 1ª linha e 1ª coluna

• 1ª linha e 2ª coluna

• 2ª linha e 1ª coluna

• 2ª linha e 2ª coluna

   Assim, .

   Observe que:

   Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

   Vejamos outro exemplo com as matrizes :

    Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

     A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):

• Se A_{3 x 2} e B _{2 x 5} , então ( A . B ) _{3 x 5}

• Se A _{4 x 1} e B _{2 x 3}, então não existe o produto

• Se A _{4 x 2} e B _{2 x 1}, então ( A . B ) _{4 x 1}
     

Propriedades

   Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . I_n = I_n . A = A, sendo I_n a matriz identidade de ordem n

   Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 _{m x n} uma matriz nula, A .B =0 _{m x n} não implica, necessariamente, que A = 0 _{m x n} ou B = 0 _{m x n}.

   
Matriz inversa

   Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = I_n , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A^-1 .  

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