Ensino Fundamental
 Ensino Médio
 Ensino Superior
 Trabalhos de Alunos
 Matemática Financeira
 Estatística
 Biografias Matemáticas
 História da Matemática
 Laifis de Matemática
 Softwares Matemáticos
 Softwares Online

 Shopping Matemático
 Só Vestibular
 Super Professor

 Só Exercícios
 Desafios Matemáticos
 Matkids
 Provas de Vestibular
 Provas Online

 Área dos Professores
 Comunidade
 Fóruns de Discussão
 Artigos Matemáticos
 Dicionário Matemático
 FAQ Matemática
 Dicas para Cálculos

 Jogos Matemáticos
 Mundo Matemático
 Histórias dos Usuários
 Curiosidades
 Absurdos Matemáticos
 Pérolas da Matemática
 Paradoxos
 Piadas
 Poemas
 Palíndromos

 Indicação de Livros
 Símbolos Matemáticos
 Frases Matemáticas
 Fale conosco

Busca geral

Pesquisa em todas as seções do site.


Gostou do site?

Recomende-o para um amigo.

Seu nome:

Nome do seu amigo:

E-mail do seu amigo:


Indicação de livros

Consulte periodicamente as obras indicadas.


EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM

FORMA : y'' + a1 y' + a0 y = 0                          (a0, a1 constantes)

Ex: y = e.gif (338 bytes)

Então y' = lamina.gif (300 bytes)e.gif (338 bytes)   e      y'' = e.gif (338 bytes)

Substituindo na equação dada:   ou   e.gif (338 bytes)() = 0

 

diferente.gif (293 bytes)0 para todo x, logo devemos ter = 0, que é uma equação do segundo grau na variável lamina.gif (300 bytes), chamada EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA.

    A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes lamina.gif (300 bytes)1 e lamina.gif (300 bytes)2.

  •  lamina.gif (300 bytes)1, lamina.gif (300 bytes)2 números reais e distintos seta.gif (302 bytes) C1 e C2 são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1b.gif (352 bytes) + C2c.gif (357 bytes)
  • lamina.gif (300 bytes)1 = lamina.gif (300 bytes)2 = lamina.gif (300 bytes) (números reais e iguais) seta.gif (302 bytes) a solução geral da EDO é y = C1e.gif (338 bytes) + C2xe.gif (338 bytes)
  • lamina.gif (300 bytes)1 = a + bi, lamina.gif (300 bytes)2  = a - bi (complexos conjugados: a, b reais) seta.gif (302 bytes) a solução geral é y = C1b.gif (352 bytes) + C2c.gif (357 bytes)

 

Ex:    y'' - 2y' - 15y = 0

Equação característica: - 2lamina.gif (300 bytes) - 15 = 0 cujas raízes são: lamina.gif (300 bytes)1 = 5, lamina.gif (300 bytes)2= -3

 

Solução geral: y = d.gif (514 bytes)

 

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N

Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:

fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y'' + f1(x)y' + f0(x)y = k(x)

onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x.

 

CLASSIFICAÇÕES:

Equação linear homogênea (k(x) = 0),  ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).

Equação linear: de coeficientes constantes ( f0, f1, f2, ..., fn constantes)

                            de coeficientes variáveis (pelo menos um fvariável)

 

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS

Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:

    P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

é uma equação diferencial exata se e somente se

Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0

P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3  e  Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y

m.gif (633 bytes)   e  n.gif (640 bytes)

logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.

 

TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante f.gif (480 bytes).

Ex: g.gif (549 bytes)

Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²

Pelo teorema:

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante: i.gif (345 bytes)

i.gif (345 bytes) - 3x²y = x²i.gif (345 bytes)   ou     i.gif (345 bytes) = dx = um terço.gif (335 bytes) + C

A multiplicação por dá a solução:

k.gif (520 bytes)

<< Voltar para Ensino Superior

 

Curta nossa página nas redes sociais!


Chegou o DVD Matemática nas Profissões. Detalhes.

 

Mais produtos