Números complexos
A Teoria dos Números é o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, aos octonions, aos números de Cayley, ... .
É impossível imaginar a Teoria dos Números desprovida da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann que dá informações sobre a distribuição dos números primos. Ela é definida por:
onde s = c + i d é um número complexo e c >1.
Essa função
é a chave da demonstração do Teorema do Número Primo que afirma que o número
, de primos p tais que p é menor ou igual a x, é
aproximadamente
quando x é muito grande. Esse teorema foi conjeturado por Gauss e Legendre, e demonstrado por Hadamard e de La Vallée Poussin, em 1898.
A história
dos números complexos revela-se fascinante. Registros históricos mostram que,
em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração. Os números que
conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações.
Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5.
Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números
negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de
conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC)
acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n
(racionais) com m e n naturais e n distinto de zero.
Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal
do quadrado, de lados medindo 1, é
. Ora,
não é razão de naturais! Além
disso, os Pitagóricos descobriram muitos outros desse tipo:
,
,
,
, ... .
Portanto, por necessidades intrínsecas da investigação matemática, o universo dos números naturais foi expandido amplamente. Durante o desenvolvimento da Álgebra, na Idade Média, os matemáticos italianos exploraram vários tipos de equações e classificaram suas soluções. Essa investigação mostrou que algumas equações não possuíam solução em termos dos números conhecidos. Um dos problemas enfrentados consistia na solução da equação x² + 1 = 0. Essa equação não parecia ter solução, pois contrariava o fato de que todo número real distinto de zero, quando elevado ao quadrado, é positivo. Os matemáticos indianos e árabes, quando se deparavam com essas equações se recusavam a definir algum símbolo para expressar a raiz quadrada de um número negativo, pois consideravam o problema completamente sem sentido. No Século XVI, raízes quadradas de números negativos começaram a aparecer em textos algébricos, porém os autores frisavam que as expressões não possuíam significado e utilizavam termos tais como ”fictícias”, “impossíveis”, “sofisticadas”, para mencioná-las. O matemático alemão Leibniz (1646-1716), um dos inventores do Cálculo Diferencial, atribuía à raiz quadrada de –1 um certo caráter metafísico interpretando-a como uma manifestação do “Espírito Divino”; a mesma sensação de espanto sucedeu com o matemático suíço Lenhard Euler.
Alguns matemáticos europeus,
em particular os italianos Gerolamo Cardano e Rafaello Bombelli, introduziram os
números complexos na Álgebra, durante o Século XVI, quando eles assumiram a
existência de raízes quadradas de números negativos, apesar de considerarem
tais raízes “números impossíveis” e, assim, denominá-los “números
imaginários”. Por esse motivo, até hoje perdura o nome de números imaginários
quando nos referimos a raízes quadradas de números negativos. Postulando a
existência de raízes quadradas de inteiros negativos, e assumindo que i
é solução da equação x² + 1 = 0, ou seja, axiomatizando–se que i
satisfaz a relação i² = –1, pode-se efetuar operações envolvendo i
e os números reais. Dessa forma, para qualquer número real positivo a,
a raiz quadrada do número negativo –a é i
, ou seja,
=
i
. Dados os números reais c e d, podemos multiplicar d por i
e obter i d, e adicionar a c para obtermos c + i d.
Em geral, qualquer número complexo é escrito como c + d i,
onde c é denominado “parte real” e d “parte imaginária”. Portanto, obtemos números da forma c
+ i d formando o conjunto dos números complexos. No
conjunto dos números complexos, podemos adicionar e multiplicar formando uma
estrutura algébrica denominada corpo dos números complexos.
Os matemáticos costumam
representar os números reais como pontos em uma reta denominada de reta real,
onde a cada ponto corresponde um único número real e a cada número real
associam um único ponto dessa reta. Como a raiz quadrada de um número negativo
não pode ser representada nessa reta, persistiu um impasse até o Século XIX.
O primeiro
a propor uma visualização dos complexos identificando-os como pontos do
plano bidimensional foi o autodidata norueguês Caspar Wessel em 1797. Essa idéia
foi redescoberta por Jean-Robert Argand, um contador suíço, que publicou um
livro em 1860 sobre o assunto, e também pelo genial matemático alemão Karl
Friedrich Gauss. Como era impossível associar um ponto da reta real à raiz
quadrada de um número negativo, a questão foi resolvida associando-se aos números
imaginários pontos sobre uma reta perpendicular à reta real, passando pelo
ponto zero, e dessa forma criando um sistema de coordenadas cartesianas. Nesse
sistema, os números reais são colocados sobre o eixo horizontal, denominado eixo
real, e todos os números imaginários sobre a reta perpendicular à reta
real, passando pelo zero da reta real horizontal, denominado de eixo imaginário.
Como
=
= i
, todos os números imaginários
podem ser colocados no eixo imaginário como múltiplos de i =
. Portanto, não só os imaginários passam a ter uma representação gráfica,
como as combinações possíveis de reais e imaginários, ou seja, os números
complexos, são representados por pontos no plano definido pelos eixos real e
imaginário, denominado plano complexo.
O talento e a genialidade de Gauss levaram a um dos resultados mais profundos da Matemática, o Teorema Fundamenta Álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui solução no corpo dos números complexos. Além desse resultado importantíssimo, a álgebra dos números complexos originou uma nova área de investigação — a Análise Complexa — que tem um papel fundamental no desenvolvimento da Álgebra e da Teoria dos Números. Os números complexos representam uma das estruturas mais importantes da Ciência. Atualmente, é impossível imaginar a Engenharia Elétrica, a Aerodinâmica, ou a Dinâmica dos Fluidos, sem os números complexos. A Mecânica Quântica faz uso dos números complexos e, na Teoria da Relatividade de Einstein, o espaço tridimensional é visto como real e a dimensão relativa ao tempo como imaginário.
