Teoria dos números: a rainha da Matemática

A teoria dos números é o estudo dos números naturais ou inteiros positivos 1, 2, 3, 4,... e suas propriedades. O matemático Leopold Kronecker certa vez observou que, ao se tratar de matemática, Deus criou os números naturais e o resto é obra da humanidade. Contudo, os inteiros positivos representam, sem sombra de dúvida, a primeira criação matemática humana, e é difícil imaginar a humanidade destituída da habilidade de contar.

Embora os números naturais constituam, em um certo sentido, o sistema matemático mais elementar, o estudo de suas propriedades tem exercido grande fascínio na mente humana desde as mais remotas épocas da antiguidade, desafiando inúmeras gerações de matemáticos e leigos, que apreciam os seus enunciados simples e intrigantes, cujas demonstrações estão além de qualquer simplicidade.

Dentre os tesouros do antigo Egito se encontra o papiro Rhind descrevendo a matemática praticada no Egito há aproximadamente 2000 anos a.C.. Registros históricos mostram que os  sumérios desenvolveram algum tipo de aritmética pois, por volta de 3500 a.C., possuíam um calendário e, por volta de 2500 a.C., desenvolveram um sistema numérico utilizando o número 60 como base. Os babilônios seguiram essa tradição e se tornaram exímios calculistas; tábuas de barro da Babilônia, datando de 2000 a.C., foram encontradas com elaboradas tabelas matemáticas. Ao final do terceiro milênio a.C. tábuas cuneiformes da Mesopotâmia mostravam que a Aritmética já era bastante sofisticada.

Os números foram utilizados nas transações comerciais por mais de 2000 anos até que se pensasse em estudá-los de forma sistemática. A primeira abordagem científica ao estudo dos números inteiros, isto é, a verdadeira origem da teoria dos números, é geralmente atribuída aos gregos. Por volta de 600 a.C. Pitágoras e seus discípulos fizeram vários estudos interessantes. Eles foram os primeiros a classificar os inteiros de várias maneiras: números pares, ímpares, primos, etc..

 Na verdade não são exatamente os números naturais que exercem fascínio estético, místico e prático, mas as relações que eles estabelecem entre si. É dentro dessas relações profundas e sutis que se encontra a beleza, encanto e fascínio que os números exercem através das gerações.

A teoria dos números é a área da matemática cujo objetivo é descobrir e estabelecer as relações profundas e sutis que números de tipos diferentes guardam entre si. Por exemplo, considere os quadrados dos números naturais 1, 4, 9, 16, 25,... . Se tomarmos a soma de dois quadrados, eventualmente obteremos como resultado um outro quadrado. O exemplo mais famoso é: , mas existem outros exemplos: ,  , e muitos outros. As ternas deste tipo, (3, 4, 5), (5, 12, 13), (20, 21, 29), são denominadas ternas pitagóricas. Por outro lado não é um quadrado. Portanto seguem questões como “Existem infinitas ternas pitagóricas?”  e “ Se a resposta for positiva, poderemos encontrar uma fórmula que as descrevam em sua totalidade?”. Esses são alguns dos tipos de questões que a teoria dos números investiga.

 A teoria dos números é povoada por uma variedade enorme de objetos: números primos, quadrados, ímpares e perfeitos; conjuntos dos números racionais, algébricos, e transcendentes, algumas funções analíticas bastante específicas tais como séries de Dirichlet e formas modulares; equações tais como a de Fermat e de Pell, curvas elípticas, códigos, alguns objetos geométricos tais como reticulados, feixes sobre Z e muitos outros que encontraremos em nossa jornada através da teoria dos números.