A DISTRIBUIÇÃO DOS NÚMEROS PRIMOS
Faremos agora uma incursão
em uma das áreas mais antigas e interessantes da Teoria dos Números: a
distribuição dos números primos. Essa investigação tem fascinado a
mente dos homens desde a antiguidade clássica: como os números primos se
distribuem no conjunto dos números inteiros?
O estudo da distribuição dos números primos desenvolveu a teoria das
funções de uma variável complexa, em particular, a teoria das funções
inteiras. Durante o desenvolvimento dessa investigação, métodos profundos
da álgebra e da análise têm surgido, porém nem sempre produzem o sucesso
esperado. Por outro lado, alguns
dos resultados mais importantes podem ser obtidos através de raciocínios
surpreendentemente simples, mas engenhosos, como é o caso da demonstração
de Euclides da infinitude do conjunto dos números primos.
Primeiramente precisamos saber o que é um número primo, sob todos os
aspectos da teoria dos números, a noção essencial. Dados dois números
inteiros, sua soma, sua diferença e o seu produto também são números
inteiros. Contudo o quociente da divisão de um número inteiro por outro pode
não resultar em um número inteiro, por exemplo, o resultado da divisão do número
inteiro 5 pelo inteiro 3 não é um número inteiro. Esforços na construção
de conjuntos que permitissem a obtenção de resultados das operações
desejadas levaram os matemáticos a sucessivas generalizações do conceito de
número. Por exemplo, se considerarmos o conjunto dos números racionais, isto
é, as frações a/b, onde a e b são números inteiros,
e b ¹
0, então o quociente da divisão está sempre definido, ou seja, (a/b)
¸
(c/d) = (ab)/(cd). Entretanto, dados os
inteiros a e b, se existe um inteiro q tal que a = bq
dizemos que a é divisível por b, ou que b divide a.
O número b é um divisor do número a e o número a é
um múltiplo do número b. Costumamos indicar o fato de que b
divide a da seguinte maneira: b½a.
Por exemplo, 2½4
(lê-se que 2 divide 4), 4 é um múltiplo de dois e 2 é um divisor de 4.
Todo número inteiro positivo a que é maior que 1 possui dois
divisores óbvios, o 1 e o próprio
a. Se além desses divisores o número inteiro a possuir outro
divisor, digamos b, 1< b < a, então a é
chamado de um número composto. Caso
contrário o inteiro a é chamado um número primo, ou
simplesmente um primo. Por exemplo, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 são números
primos, pois têm exatamente dois divisores. O número 6 possui como divisores
1, 2, 3 e 6 e, portanto, é chamado um número composto. Portanto,
exceto pelo 1, os números naturais em relação ao seu comportamento quanto
à divisibilidade, se dividem em
dois conjuntos numéricos: os
números primos e os números compostos.
Quando
multiplicamos números primos, obtemos um número composto e, reciprocamente,
quando isolamos os divisores primos de um número a, representamos a
como um produto de fatores primos, i.e.,
Por exemplo, o número 90 é divisível por 2, e assim obtemos: 90
= 2 x 45. Por sua vez 45 é divisível por 3 e, então, 45 = 3 x 15. Se
continuarmos com esse processo, obteremos: 90 = 2 x 3 x 3 x 5.
Uma questão interessante é saber se essa decomposição é única. A
resposta é afirmativa, ou seja, todo número inteiro positivo pode ser
representado como um produto de números primos, e essa representação é única
a menos da ordem dos fatores. Por
esse motivo os números primos muitas vezes são chamados de blocos
construtores dos números inteiros.
Observamos que existem muitos conjuntos munidos das operações de adição
e de multiplicação onde a decomposição em fatores primos não é única,
voltaremos a essa questão em outras colunas.
A representação dos números inteiros como um produto de primos foi
durante muito tempo vista como um fato óbvio, porém o matemático Gauss deu
uma demonstração dessa afirmação em sua famosa obra Disquisitiones
Arithmeticae de 1801. Essa afirmação é conhecida como o teorema
fundamental da aritmética (TFA), ou teorema de fatorização única.
Esse teorema
mostra que os números primos formam uma base multiplicativa. Conhecer algumas das propriedades
dessa base é bastante importante, pois, tal fato equivale a conhecer algumas
propriedades dos números primos. A
primeira questão que surge é relacionada com a infinitude dos números
primos, ou seja, existe um número infinito de números primos? A resposta é
afirmativa e esse teorema foi demonstrado por Euclides:
“Suponhamos que
o conjunto dos números primos, P, seja finito. Seja r o número exato
de números primos, ou seja, a cardinalidade do conjunto P. Nesse caso
, ... até
que é o maior (e último) dos números primos. Dessa forma
enfatizamos que o conjunto P contém todos os números primos
existentes. Consideremos agora um novo inteiro n =
O TFA afirma que n pode ser fatorado em primos, n =
, onde os primos
são elementos do conjunto P e k > 1. Segue que
½n
onde
é um primo do conjunto P. Portanto
para algum j onde 1£ j £
r. Conseqüentemente
½
. Sendo assim
½n e
½
; logo
½n -
. Por outro lado, n -
= 1 e, dessa forma,
½n
-
= 1, ou seja,
½1, contrário à definição de número primo. Essa
contradição mostra que nenhum conjunto finito P pode conter todos os
números primos.
Outra questão bastante interessante relacionada aos números primos
diz respeito à freqüência de ocorrência dos números primos em sua ordem
natural de aparição no conjunto dos números naturais. Em outras
palavras, quantos primos existem entre os números naturais 1, 2, ..., X
quando X é um número grande? Esse número que, em geral, depende de X,
é denotado por p
(X), ou seja, p
(X) é o número de primos menores ou iguais a X. Por exemplo, p
(4) = 2, p
(7) = 4.
A primeira conjectura sobre a magnitude de p
(X) como função de X foi feita pelos matemáticos Gauss e
Legendre, independentemente, no final do Século XVIII. Baseados em extensivos
cálculos, Gauss e Legendre fizeram a conjectura que
p
(X) ~ X / log X,
ou seja, p
(X) é aproximadamente X / log X quando X é um
número natural muito grande. Essa conjectura sugere que o quociente de p
(X) por X / log X tende ao limite 1 quando X
tende a infinito. Essa formulação é conhecida como o Teorema do Número
Primo e foi demonstrada, independentemente, por de la Vallée – Poussin e
Hadamard em 1896 utilizando-se de novos e poderosos métodos analíticos da
teoria das variáveis complexas. Em 1948 Atle Selberg e Paul Erdös deram
outra demonstração sem a utilização de teoria das variáveis complexas.
Muitos matemáticos contribuíram para a demonstração do Teorema do Número
Primo: Riemann, Mertens, von Mangoldt, Hadamard, de la Vallée–Poussin,
Tchebychev, etc. Essa foi uma das maiores aquisições da matemática do
Século XIX e deu origem à Teoria Analítica dos Números.
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