As Ternas Pitagóricas

A teoria dos números é a área da matemática que investiga relações profundas e sutis entre os números inteiros positivos. Pitágoras e seus seguidores ligaram tais números à geometria e, dessa forma, iniciou-se uma das vertentes mais bem sucedida da teoria dos números, a saber o binômio: aritmética e geometria. Por volta de 1700 AC foram encontradas, na Babilônia, tabelas contendo listas de ternas de números inteiros com a propriedade de que um dos números quando elevado ao quadrado era igual à soma dos quadrados dos outros dois. Como tais listas eram extensas, acredita-se que os Babilônios já possuíam um método sistemático de gerar tais ternas. Há registros históricos que comprovam a existência e uso de tais tabelas no Egito antigo.Considere os quadrados dos números naturais 1², 2², 3², 4², 5²,... . Se tomarmos a soma de dois quadrados, eventualmente obteremos como resultado um outro quadrado. O exemplo mais famoso desse fato é: 3²+4²=5², mas existem outros exemplos: 5²+12² = 13², 20²+21² = 29², e muitos outros. Contudo 2²+3² =13 não é um quadrado. Portanto, é natural perguntar se existe um número infinito de ternas Pitagóricas. A resposta é afirmativa e o motivo é muito simples: se (x, y, z) é uma terna Pitagórica, então ao multiplicá-la por um inteiro positivo c, obtemos (cx, cy, cz) que é uma nova terna Pitagórica, pois, (cx)²+(cy)²= c²(x²+y²) = c²z² = (cz)². Por outro lado essas ternas não são as mais interessantes e então definimos ternas primitivas, ou seja, aquelas em que a, b, e c não possuem fator comum e satisfazem à relação x²+y² = z².

Por outro lado, os Pitagóricos estavam interessados nos triângulos retângulos cujos catetos têm comprimento inteiro x e y e o comprimento z da hipotenusa se relaciona com x e y de modo que z² = x²+y². Tal relação é o o famoso Teorema de Pitágoras. A procura de todos os inteiros positivos que satisfazem à identidade x²+y²=z² é equivalente ao problema de se determinar todos os triângulos retângulos cujos lados são inteiros.

Os Pitagóricos foram, por volta de 600 AC, os primeiros a dar um método de determinação de infinitas ternas desse tipo, hoje denominadas de ternas Pitagóricas. Utilizando uma notação atual descrevemos o método da seguinte maneira: sejam x = n,  y = 1(n²– 1), z = 1 (n² + 1) onde n é um inteiro ímpar maior que 1; então a  terna resultante (x, y, z) é uma terna Pitagórica onde z = y + 1. Observe alguns exemplos: 3² + 4² = 5², 5² + 12² = 13², 7² + 24² = 25², 9² + 40² = 41², 11² + 60² = 61². Observe que existem outras ternas além dessas: por exemplo, quando z = y + 2, ou seja, 8² + 15² = 17², 12² + 35² = 37², 16² + 63² = 99², 20² + 65² = 101². O filósofo Platão (430 – 349 AC) encontrou um outro método para determinar todas essas ternas, que em notação moderna são as fórmulas: x = 4n, y = 4n² – 1, z = 4n² +1. O matemático grego Tales de Mileto provocou uma mudança substancial no conhecimento quando transformou  a matemática que até então era praticada como alguma forma de numerologia em uma ciência dedutiva. Por volta de 300 AC, quando Euclides publicou a coleção de 13 livros denominada Elementos, todos os fatos matemáticos apresentados foram demonstrados formalmente. No décimo livro, Euclides deu um método de obtenção de todas as ternas Pitagóricas. Apesar de não apresentar uma demonstração formal do seu método, Euclides obtinha todas as ternas. Utilizando-se a notação atual, o método consiste nas seguintes fórmulas: x = t(a²-b²), y = 2tab, z = t(a²+b²) onde t, a, e b, são inteiros positivos arbitrários tais que a>b, a e b não possuem fatores em comum, e se a é ímpar então b é par e vice-versa. Isso resolve completamente o problema natural de se saber quais são todas as ternas Pitagóricas.