EQUAÇÕES DIOFANTINAS VI – A Conjectura de Taniyama – Shimura

Por mais de 350 anos, gerações de matemáticos e leigos tentaram sem sucesso demonstrar o "Último Teorema de Fermat (UTF)" até que, em 1994 o matemático inglês Andrew Wiles teve êxito e apresentou uma demonstração junto com muitas idéias revolucionárias.

Por volta de 1900, o industrial alemão, Paul Wolfskehl, que havia traçado um plano para o seu suicídio, aguardava o momento final de sua vida numa biblioteca onde lia as últimas idéias sobre o UTF quando, subitamente, vislumbrou a possibilidade de consertar uma falha no trabalho do matemático alemão Ernest Kummer e, talvez, obter uma demonstração do teorema. Mas havia uma falha em seu raciocínio. Quando percebeu o engano, a hora programada para o seu suicídio já havia passado. Foi assim que Paul Wofskehl desistiu de se matar e instituiu o prêmio de 100.000 marcos alemães, o que corresponderia hoje a cerca de 1 milhão de dólares, para quem conseguisse a façanha de descobrir uma demonstração do UTF. Contudo, biografias mais realistas afirmam que Paul Wofskehl instituiu o prêmio porque não queria deixar herança à esposa, pois havia se casado por imposição familiar. O grande matemático David Hilbert, do início do Século XX, quando perguntado por que não se candidatava ao prêmio, disse que mesmo que se dedicasse intensamente à investigação do problema por 3 anos, provavelmente também não teria sucesso. Foi Andrew Wiles quem recebeu, da Academia de Ciências de Göttingen, esse prêmio em 1997, transformado em 75.000 marcos alemães atuais devido à inflação, depois de 90 anos e 10 anos antes de expirar o prazo de validade estabelecido por Wofskehl. Wiles não foi contemplado com a Medalha Fields, considerada o Prêmio Nobel da Matemática, mas talvez o Prêmio Wofskehl tenha sido a maior honra entre todas as outras que já recebeu, ou ainda virá a receber, pela solução do problema mais famoso da Matemática.

Em 1954 dois jovens matemáticos japoneses, Yutaka Taniyama e Goro Shimura, iniciaram uma frutífera amizade. Shimura ficara sabendo que o volume 24 do periódico Mathematische Annalen não estava na prateleira da biblioteca onde deveria estar. Taniyama o havia retirado. O impressionante é que os dois estavam interessados no mesmo artigo e nos mesmos cálculos. Desse interesse comum nasceria a conjectura de Taniyama – Shimura: "Toda curva elíptica racional é modular". A conjectura, uma das mais significativas da Matemática, tornou-se conhecida através do trabalho do matemático francês André Weil e inspirou o famoso e importante "Programa de Langlands", um grande projeto de pesquisa matemática que investiga as profundas e sutis relações entre as várias áreas da Matemática. Trinta anos depois da Conjectura de Taniyama-Shimura nenhum progresso fora realizado para a sua solução. Em 1986 o matemático alemão Gerhard Frey percebera que, dentre os inúmeros resultados que a poderosa conjectura de Taniyama – Shimura implicava, estava o UTF. Frey então sugeriu uma nova linha de ataque ao UTF usando uma noção chamada modularidade. A idéia de Frey foi refinada pelo matemático francês Jean-Pierre Serre facilitando o trabalho do matemático Kenneth Ribet, da Universidade da Califórnia em Berkeley. Ribet demonstrou que, se a conjectura relativa à modularidade fosse verdadeira, então se seguiria o UTF. Mais precisamente, Ribet mostrou que, se toda curva elíptica semi-estável é modular, então o UTF é verdadeiro. Ou seja, assumindo-se a conjectura de Taniyama – Shimura para curvas elípticas racionais semi – estáveis, segue-se o UTF.

Contudo quem seria capaz de demonstrar a conjectura de Taniyama – Shimura? Muito simplificadamente a conquista de Andrew Wiles foi justamente descobrir uma demonstração revolucionária para uma pequena parte dessa conjectura tão difícil.