EQUAÇÕES DIOFANTINAS IV – O PRINCÍPIO DA BOA ORDEM

Pierre de Fermat estabeleceu uma forma de indução denominada de "Método da Descida Infinita". Esse método é utilizado quando queremos demonstrar que certas equações diofantinas não possuem solução. Pierre de Fermat demonstrou o caso n = 4 do último teorema (UTF) de Fermat. No método da descida infinita assumimos a existência de uma solução inteira e positiva e, a partir dela, mostramos que podemos obter outra solução de valor inteiro e positivo menor que a anterior. Prosseguindo dessa maneira, construímos uma seqüência infinita decrescente de valores positivos. Contudo o Princípio da Boa Ordem afirma que todo conjunto não-vazio de números naturais possui um menor elemento e, assim, chegamos a uma contradição. Essa contradição decorre da suposição de que o problema possui uma solução inteira e positiva e assim pelo método da redução ao absurdo concluímos que o problema original não possui solução.

Utilizando o método da descida infinita observamos que não possui solução inteira distinta da trivial, (x, y, z), onde x.y.z ≠ 0 e z>0.

Suponhamos que os inteiros positivos x =x₀, y =y₀, z =z₀ são uma solução de com x₀ e y₀ primos entre si. Observe que implica que , ou seja, é uma Terna Pitagórica. Por outro lado, FIG. 10 e FIG.11 são primos entre si pois, se existisse um primo p que dividisse e , então p dividiria x₀ e y₀, contrariando o fato de que x₀ e y₀ são primos entre si. Portanto, é uma Terna Pitagórica Primitiva. A partir desta Terna Pitagórica Primitiva construímos uma nova Terna Pitagórica Primitiva () tal que > . Novamente, a partir da Terna Pitagórica Primitiva () construímos uma outra Terna Pitagórica Primitiva () tal que > > . Esse processo pode ser repetido indefinidamente produzindo uma sequência decrescente infinita de inteiros positivos > > . Pelo Princípio da Boa Ordem, uma contradição ocorre. Portanto, somos forçados a concluir que não admite solução no conjunto dos números inteiros e positivos.

Como corolário imediato obtemos que a equação não admite solução no conjunto dos números inteiros e positivos. De fato, se () fosse uma solução inteira e positiva da equação , então () seria solução inteira e positiva da equação contrariando os argumentos anteriores. Assim, o último teorema de Fermat (UTF) para o caso n = 4 é verdadeiro.