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Generalizar é restringir-se ao essencial...

Quanto é a potência "n elevado a zero"? Já vimos que 2 elevado a m nada mais é do que a quantidade de partes do conjunto m. Ora, no caso da potência 2 elevado a zero, o nosso m é o conjunto vazio. Portanto, a nossa pergunta se traduz em saber quantas partes tem o conjunto vazio. É claro que a única parte do conjunto vazio é a parte vazia. Deduzimos facilmente que 2 elevado a zero só pode ser 1 que é a quantidade de partes (ou de subconjuntos) do conjunto vazio.

O processo de generalização em matemática é um processo fundamental. Poderíamos dizer que o que o matemático faz o tempo todo é tentar generalizar uma verdade que já é de seu conhecimento, ou só por curiosidade, mesmo que não saiba se uma afirmação é verdadeira, o matemático pode perguntar se ela admite uma "generalização". É muito fácil dar exemplos de generalizações interessantes e importantes. Aqui mesmo, nesse momento, estamos diante de um exemplo interessante e importante: já que descobrimos que as potências de 2 são simplesmente os resultados das contagens das partes dos conjuntos expoentes m, é irresistível perguntar se as potências, digamos, n elevado a m, não seriam também resultados de contagens de objetos em certas situações. Lembre-se de que os próprios números naturais podem ser pensados como representações dos resultados de contagens: o zero (ou conjunto vazio) é o resultado da contagem dos conjuntos pertencentes ao conjunto vazio, o 1 é o resultado da contagem dos conjuntos pertencentes ao conjunto {Æ }, e assim por diante. Você poderia dizer: "os números naturais são o próprio processo de contagem". Concordamos inteiramente com esse ponto de vista que, por sinal, é muito elegante.

Mas voltando ao tema de hoje, será que poderíamos "generalizar" a idéia de que uma potência de 2 conta as partes de seu expoente m e, então, perguntar se uma potência de base n e expoente m não seria uma certa contagem interessante? Se for o caso, precisamos saber contagem "de quê"? A área da matemática que lida com esse tipo de problema, ou seja, o problema de contagem de objetos em certas situações, é a Combinatória. É uma área fascinante, assim como qualquer outra área da matemática. Ela tem se desenvolvido de modo extraordinário nas últimas décadas, assim também como toda a matemática. Vivemos uma época de grande progresso em matemática. Para você ter uma idéia, já é possível encontrar em boas livrarias, como a excelente Livraria Cultura de São Paulo, livros sobre a Combinatória do Genoma Humano, uma área importantíssima que certamente terá um grande progresso nos próximos meses.

Mas não vamos perder o fio da meada: como é que se generaliza a idéia de contagem que está por trás das potências de 2? Generalizar é restringir-se ao essencial. Assim, o que precisamos fazer é ver o que é essencial na contagem que está por trás de uma potência de 2. Lembre-se de que as transformações do conjunto m no conjunto {0, 1} = 2 nos deu a idéia de separação do conjunto m em dois pacotes. Um pacote era aquele dos conjuntos de m que ficavam associados com o 0 e o pacote restante era o pacote dos conjuntos que sobravam. O essencial, portanto, de uma função ou transformação do conjunto m no conjunto 2 é a idéia de "empacotamento colorido", isto é, para cada conjunto y (cor y) do conjunto n formamos o "pacote de cor y" dos conjuntos x de m. Quando n é 2 isso nos dá simplesmente a contagem das partes de m.

Quer dizer então que era verdadeira a hipótese de que potências de base n e expoente m também são resultados de contagens interessantes que são mais gerais do que a contagem das partes do conjunto m. As potências n elevado a m contam, simplesmente, de quantas maneiras podemos formar pacotes de n cores com os conjuntos de m. Faça um teste você mesmo: verifique se essa interpretação combinatória das potências naturais de números naturais dá certo mesmo nos casos de 2 elevado ao cubo e de 3 elevado ao cubo. Não se esqueça de que é permitido formar pacotes vazios para respeitarmos a quantidade de cores requerida. É claro que você já pode responder sem hesitação: qualquer potência natural de expoente 0 é 1!

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