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Simetria, Anti-simetria e Quebra de Simetria VIII
Para continuar nossa apreciação da estação “Maxwell”, precisaremos recorrer a uma pequena parte da obra de um dos três maiores gênios da Matemática: Carl F. Gauss. É o que faremos na próxima coluna.
Simetria, Anti-simetria e Quebra de Simetria VII
Johann Carl Friedrich Gauss (alemão, 1777 – 1855) foi um dos formuladores da teoria do magnetismo. É considerado um dos três maiores matemáticos de todos os tempos juntamente com Newton e Arquimedes. Para refletirmos sobre um famoso teorema, conhecido no Ocidente como Teorema da Divergência de Gauss, examinaremos intuitivamente as equações abaixo:
òòS D . dS = q
e
òòS G . dS = – M
Na Rússia, esse importante teorema é conhecido como Teorema de Ostrogradski (Mikhail Ostrogradski, 1801–1861). Na verdade, a história mais completa desse assunto deve ser relacionada à história do Teorema de Green (George Green, 1793–1841) e do Teorema de Stokes (George Gabriel Stokes, 1819–1903). O teorema descoberto por Green na Inglaterra também foi descoberto por Ostrogradski na Rússia e hoje em dia concebemos esses teoremas todos reunidos em uma forma generalizada denominada Teorema de Green – Gauss – Stokes e não mencionamos Ostrogradski. Esses teoremas têm uma importância extraordinária na Matemática e na Física, mas aqui estamos apenas querendo refletir um pouco sobre a versão conhecida como Teorema da Divergência de Gauss.
A primeira equação acima, conhecida como Lei de Gauss, se refere a uma carga elétrica positiva q colocada no interior de uma superfície fechada S e ao fluxo elétrico que emana dela atravessando S.
A carga produz um campo elétrico representado por um vetor E em cada ponto do espaço e, em particular, em cada ponto de S. Não vamos entrar em detalhes matemáticos sobre esse campo, apenas imaginaremos que ele nos fornece um vetor E em cada ponto do espaço. Essa idéia é análoga à idéia de campo gravitacional F. A única diferença é que o vetor E sai de S em um ponto P enquanto que F entra em S em um ponto P.
A segunda equação se refere a uma massa M colocada no interior de uma superfície fechada S e ao fluxo gravitacional que se dirige a M atravessando essa superfície. Podemos pensar no Sol situado no centro de uma esfera com a Terra em um ponto dessa esfera. Na Terra há sempre um vetor F imaginário apontado para o Sol que é a força gravitacional que o Sol exerce sobre a Terra e M é a massa do Sol. É claro que estamos imaginando tudo isso segundo uma perspectiva Newtoniana e não Einsteiniana. Nosso objetivo aqui é apenas refletir sobre simetrias e anti-simetrias que possam ser entendidas vetorialmente.
Na primeira equação, D é a densidade de fluxo elétrico em um ponto da superfície S, isto é, a quantidade de fluxo elétrico que passa em um pedacinho dS da superfície S em torno do ponto P. Como estamos recortando uma superfície S em uma grande quantidade de pedacinhos dS, e temos a intenção de somar números associados a esses dS´s, utilizamos o símbolo òòS de soma dupla sobre S. Na prática, essa soma pode ser separada em duas somas parciais, uma para cada dimensão da superfície. Da mesma forma, mais abaixo utilizaremos o símbolo òòòS para indicar que, na prática, a soma de números associados aos dV´s pode ser separada em três somas parciais, uma para cada dimensão do espaço. Na verdade, poderíamos utilizar apenas o símbolo òS de soma sobre S em ambos os casos porque não entraremos nos detalhes técnicos de cada soma.
Na segunda equação, podemos imaginar G como a densidade de fluxo gravitacional em um ponto da órbita da Terra. Essa órbita é uma elipse que podemos imaginar como uma linha em um elipsóide imaginário. Não haverá perda de entendimento se supusermos que esse elipsóide é uma esfera. Em um pedacinho do elipsóide em torno da Terra há uma quantidade de fluxo gravitacional associado à força F, devido à massa M, que atrai a Terra na direção do Sol. A força gravitacional também depende da massa da Terra, mas estamos apenas pensando no fluxo gravitacional produzido pela massa M do Sol e, portanto, a massa da Terra não entra na quantidade desse fluxo.
Tentemos analisar da forma mais simples possível as equações acima. Tomemos o caso elétrico. Há três elementos para analisarmos. A superfície S, o lado direito da equação e o lado esquerdo.
O lado direito é muito fácil: ele é a quantidade de carga elétrica contida no interior de uma superfície fechada S.
Por falar em superfície S, esclareçamos primeiro o seu papel na equação. Imaginemos uma esfera de raio R, e aproveitemos para colocar em seu centro C uma carga elétrica q. Suponhamos que q seja positiva para definirmos a idéia de fluxo elétrico que emana dela. Assim, essa emanação sai da carga, porque definimos dessa forma quando a carga é positiva, e passa pela esfera. A geometria dessa situação pode ser visualizada na forma de linhas retas saindo do centro da esfera para fora. Dizemos que esse fluxo emana radialmente do centro C para fora da esfera. Essa superfície engloba um espaço que denominaremos de sólido B envolvido pela superfície S — nesse caso B é uma bola.
Utilizando nossa atual concepção de campo vetorial podemos tentar compreender uma das descobertas geniais de Gauss. A idéia chave para acompanharmos a sua inteligência é a idéia de que em cada pedacinho dS da superfície S tem um pedacinho do fluxo dy que emana da carga elétrica, como um campo vetorial, e, portanto, há uma densidade de fluxo D = dy / dS em cada ponto de S.
Entretanto, para dominarmos matematicamente essa densidade, falta uma coisa. Em cada ponto de S o fluxo pode ser pensado como uma flecha apontando para fora de S em uma certa direção. Como essas direções são, em geral, distintas, precisamos dar uma forma matemática para essa diferença. Assumimos, então, que em um ponto P de S, o tamanho da flecha é D = dy / dS e sua direção ficará implícita quando escrevermos D.
É mais fácil repetir esse raciocínio para a superfície S. O vetor unitário u perpendicular a S em P é de uma utilidade extrema. Por exemplo, podemos descrever o pedacinho dS de S como um vetor cuja direção é perpendicular a S em P e cuja magnitude é a área dS. Aqui há um truque: usamos o comprimento de um vetor para representar uma área. Diremos que o elemento superficial de S em P é o vetor infinitesimal dS = dS u.
Da mesma forma, podemos conceber o vetor densidade de fluxo D em P. Apenas precisamos lembrar que a direção de D não é necessariamente perpendicular a S. Expliquemos um pouco mais esse vetor.
Vamos utilizar uma idéia fundamental associada à idéia de fluxo. É a idéia de que a parte do fluxo dy que atravessa S é a parte perpendicular dele a S em P.
Como vamos lidar matematicamente com essa idéia fundamental sobre o fluxo que atravessa S? Já temos à nossa disposição os elementos matemáticos que resolvem facilmente essa questão. Basta considerarmos o produto escalar D . dS. Esse número nos fornece D . dS = |D| . |dS| . cos q = |dy / dS| . dS . cos q = |dy| . cos q que é a quantidade absoluta de fluxo no ponto P afetada do fator cos q devido à inclinação na qual o fluxo atinge a superfície nesse ponto. Assim, a quantidade de fluxo que atravessa S é D . dS = |dy| . cos q.
Observemos que quanto mais inclinado o fluxo em um ponto P, isto é, quanto mais próximo de uma direção paralela à superfície em P, mais próximo de zero é a sua parte que a atravessa em P, porque cos 90o = 0! Por outro lado, quando o fluxo é perpendicular a S em P ele é máximo porque cos 0o = 1! Portanto, temos:
D . dS = |D| . |dS| . cos 90o = |dy / dS| . dS . 0 = 0
no caso em que o fluxo é paralelo a S em P e, portanto, não a atravessa, e
D . dS = |D| . |dS| . cos 0o = |dy / dS| . dS . 1 = |dy|.
no caso em que o fluxo é perpendicular a S em P e, portanto, tudo que chega em P atravessa S integralmente.
Entre esses dois extremos temos uma quantidade intermediária de fluxo |dy| . cos q atravessando S em P.
Assim, a matemática resolve facilmente essa situação de grande importância física e precisa apenas da noção de vetor e de produto escalar de vetores.
Imediatamente interpretamos o primeiro membro da famosa equação de Gauss. Basta imaginarmos a soma de todos os pedacinhos de fluxo |dy| . cos q em uma grande quantidade de pontos P espalhados por toda a superfície S sendo que um ponto sempre tenha muitos outros extremamente próximos dele. Em cada ponto P o ângulo q tem um valor que depende somente de P. O fluxo total que atravessa S é a soma desses fluxos infinitesimais:
fluxo que emana de q e atravessa S = yS = òòS |dy| . cos q = òòS D . dS.
Gostaríamos, então, de saber quanto é essa soma. No caso da esfera S de raio R com uma carga q localizada no centro C de S, Gauss calculou essa soma e obteve o valor q! Isto é:
fluxo que emana de q e atravessa S = yS = òòS |dy| . cos q = òS D . dS = q.
No caso gravitacional, temos:
fluxo gravitacional que se dirige a M e atravessa S = yS = òòS |dy| . cos q = òòS G . dS = – M.
Maxwell mostrou que a densidade de carga elétrica r = dq / dV em um ponto P, isto é, a razão entre a quantidade infinitesimal de carga elétrica dq, contida em um volume infinitesimal dV, e o volume dV, é o divergente da densidade D.
Ou seja,
div D = r.
O divergente é uma espécie de derivada. Ele opera em D tomando as suas derivadas parciais e a soma delas. Essa igualdade é uma das célebres equações de Maxwell.
Imaginemos, então, a carga q não mais concentrada no centro da esfera S, mas distribuída sobre a bola que tem a esfera S como casca. Em um pedacinho dV de volume da bola há um pouquinho de carga dq. Como a densidade de carga r é dada por
r = dq/dV
temos, evidentemente:
q = òòòV dq = òòòV r dV.
Assim, supondo que o cálculo de Gauss também se aplique nessa situação da carga q distribuída pelo sólido B em pedacinhos dq, pela Lei de Gauss podemos concluir que
òòS D . dS = q = òòòV dq = òòòV r dV = òòòV div D dV.
Aplicado ao fluxo gravitacional, observando que nesse caso a densidade r é a de massa dada por r = dM / dV, e div G = –r (pense nesse sinal negativo como indicativo de que o fluxo se dirige para a massa M que o produz), esse raciocínio nos dá:
òòS G . dS = – M = – òòòV dM = òòòV (–r) dV = òòòV div G dV.
Pudemos, assim, refletir sobre dois exemplos do famoso resultado que ficou conhecido no Ocidente como Teorema da Divergência de Gauss para uma densidade de fluxo D:
òòS D . dS = òòòV div D dV,
mas visto com os olhos de quem vive posteriormente a Maxwell. Tanto a Lei de Gauss quanto a abordagem de Maxwell são conseqüências diretas de um ponto de vista que procura explorar simetrias e anti-simetrias na Natureza e na Matemática, e as analogias entre elas.
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