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O infinitamente grande e o infinitamente pequeno

Em Física não podemos extrapolar o comprimento de Planck para quantidades ainda menores, mas em Matemática não há limites para nossa imaginação. Assim como não se conhece quantidade menor do que o comprimento de Planck, também não se sabe se há mais de 10100 átomos em nosso Universo observável. Em nossa imaginação não há problemas em conceber números como 101000 e 10-1000. E mais ainda, o produto desses dois é igual a 1! Essa é a parte interessante. Há uma estrutura multiplicativa notável que analisaremos com mais detalhes agora.

Simetria na Matemática V


Há modelos matemáticos astronômicos que prevêem a existência de uma galáxia a uma distância de cerca de metros daqui. É muito difícil de imaginar essa “realidade”. Mais difícil ainda é imaginar que nessa galáxia existam espécimes do homo sapiens exatamente iguais a  nós!

Dizem os autores de um artigo da Scientific American brasileira, de fevereiro de 2004, que a veracidade      dessas teorias matemáticas sobre o Universo decorre apenas das leis elementares de probabilidades. Se o          Universo é “infinitamente grande”, então há um lugar onde o evento mais improvável ocorre. Qualquer combinação        de escolhas para as nossas vidas é vivida por outros iguais a nós em algum lugar do Universo “infinitamente grande”.

Ninguém poderá se encontrar com as suas cópias, pois só podemos observar pontos situados a, no máximo,      42 bilhões de anos luz. Assim, os objetos visíveis mais distantes encontram-se a uma distância de 4 ´ 1026 metros.       É o nosso universo observável, também conhecido como o volume de Hubble.

As nossas cópias também estão em planetas situados em bolas de Hubble, isto é, bolas que têm o volume de Hubble, ou ainda, bolas com raio de 4 ´ 1026 metros.

A imaginação acima é apenas parte de uma variante das teorias dos multiversos. O que nos interessa aqui são       os números com os quais esses teóricos trabalham. As teorias dos multiversos têm quatro níveis. No nível 1, há conclusões como a seguinte:

 

“a cerca de metros daqui existe uma bola de Hubble exatamente igual à nossa...”

 

Como surge esse número? Contam-se os estados quânticos possíveis para uma bola de Hubble, cuja    temperatura não ultrapasse 108 graus Kelvin. Pergunta: quantos prótons podem caber em uma bola de Hubble à temperatura de 108 graus Kelvin? Resposta: 10118 prótons. Como uma tal partícula pode estar presente, ou não, o total de arranjos de prótons é de . Portanto, essa quantidade esgotaria todas as possibilidades de bolas de Hubble. Essas bolas preencheriam uma distância de aproximadamente  metros. Além dessa distância os universos, isto é, as bolas de Hubble, começariam, necessariamente, a se repetir!

O nível 1 das teorias dos multiversos sugere que o Universo (isto é, a totalidade das bolas de Hubble) seja “infinitamente grande” ... .

E se pensarmos no sentido contrário? E se pensarmos simetricamente nas distâncias possíveis e perguntarmos qual é a menor distância possível? Bem, a simetria parece quebrar-se: não iremos a menos do que a distância de    Planck de 10-33 cm!

E se fizermos a mesma pergunta em relação ao tempo? O tempo também parece ter um limite inferior, pelo  menos é o que revela a teoria matemática da Gravidade Quântica em Loop, ou Teoria do Espaço-Tempo Quântico, que propõe que o espaço e o tempo não podem ser menores do que certos valores. Para o tempo há  o limitante inferior de 10-43 segundos.

Assim, os limitantes inferiores são 10-33 cm para distâncias, portanto 10-66 cm2 para áreas, 10-99 cm3 para volumes e 10-43 segundos para o tempo.

Sendo assim, a Teoria da Gravidade Quântica em Loop traz uma assimetria entre o grande e o pequeno em Física. Contudo, vimos nas colunas anteriores que é natural uma bela simetria entre os números reais grandes e os pequenos. Parece que o “infinitamente grande” em Física não tem limitações enquanto que o “infinitamente pequeno” tem as limitações acima.

Talvez fosse o caso de especularmos um pouco mais imaginando que se a realidade física fosse simétrica em termos de quantidades, analogamente aos números reais positivos, então o que existiria seria o “nada”. Ao se quebrar   a simetria física perfeita entre o grande e o pequeno, surgem as bolas de Hubble. Como dizia Georg Cantor,               

a essência da Matemática é a sua liberdade ...”. 

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