Não tem graça um universo matemático vazio
Por mais imaginativos e criativos que sejamos, não poderemos deduzir a existência de conjuntos de outros axiomas que já não contenham em si mesmos, de alguma forma, a hipótese da existência de algum conjunto. Ou pelo menos, para sermos mais rigorosos, poderíamos dizer que ninguém até hoje conseguiu a façanha de trazer, matematicamente, à existência um conjunto a partir de outros axiomas que já não contenham alguma hipótese de existência. Não vamos, pois, prolongar essa agonia de inexistência de conjuntos. Curvamo-nos à realidade da nossa impotência em produzir conjuntos do nada... . Convencionemos que, a partir de agora, existem conjuntos. Essa verdade incontestável será o nosso Axioma Zero.
Note que, por outro lado, não vamos exagerar em nosso desejo de que exista algum conjunto em matemática. O fato de supormos que existem conjuntos, não nos autoriza a afirmar que existem mais do que um conjunto. O máximo que podemos dizer a respeito da existência de alguma coisa, é que dentre os axiomas 0, 1, 2 e 3, apenas o Axioma 0 nos garante que existem conjuntos, mas não nos informa quantos conjuntos existem.
Devemos então verificar quais conseqüências se seguem agora desses quatro axiomas e, principalmente, se podemos concluir a existência de muitos conjuntos em matemática. Lembremos do Axioma 2, que afirmava que se a fosse um conjunto pré-existente, então também existiria o conjunto b = {x pertencentes a a: A(x)}, que pode ser entendido como “b é o subconjunto de a formado pelos conjuntos x que pertencem a a e que satisfazem a propriedade A”. Ora, imediatamente podemos pensar numa simples propriedade A(x): x≠x.
Isto é, a propriedade que estamos pensando é a de que x satisfaz a condição de ser diferente de si mesmo. Assim, definimos o conjunto b = {x pertencentes a a: A(x)}= {x pertencentes a a: x≠x }. Você já está percebendo que não existem conjuntos que pertençam a esse conjunto, pois não existe um conjunto que seja diferente de si próprio. Portanto, quando pensamos no subconjunto dos conjuntos do conjunto a que são diferentes de si próprios, estamos pensando num conjunto “vazio”. Descobrimos, então, que o primeiro conjunto a se apresentar a nós é justamente o conjunto vazio, ou seja, um conjunto que tem a propriedade de que qualquer que seja o conjunto X do universo matemático, X não pertence ao conjunto vazio. Vamos batizar esse primeiro conjunto que veio à existência de Æ. É interessante esse fato, justamente o primeiro conjunto de que tomamos consciência é um “conjunto sem nada dentro”.
Matemática é assim mesmo, ela é sempre surpreendente. Quer mais surpresas? Pois bem, vamos agora deduzir que existem então, a partir do conjunto vazio Æ, infinitos conjuntos no universo matemático. Pense no Axioma do Par e no Axioma 3: então, como Æ existe, podemos formar o conjunto { Æ, Æ} = { Æ}. De novo, usando o Axioma do Par, e o Axioma 3, deduzimos que existe o conjunto {Æ, { Æ}}. Agora não paramos mais: aplicando sucessivamente os Axiomas 2 e 3 obtemos a seqüência infinita de conjuntos: Æ, {Æ}, {Æ, { Æ}}, {Æ, {Æ}, {Æ, {Æ}}}, ... . Estamos prontos para a seguinte definição e reconhecimento: 0 = Æ, 1 = {Æ}, 2 = {Æ, { Æ}}, 3 = {Æ, {Æ}, {Æ, {Æ}}}, ... . Você acaba de ser apresentado aos famosos “números naturais” que, por sua vez, acabam de nascer e se constituir nos primeiros habitantes do universo matemático. Observe também o fato de que 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, ... . DESAFIO: ler essa coluna com grande atenção, e tantas vezes quantas forem necessárias, até você ficar absolutamente convencido de que entendeu o que são os “números naturais”. O último desafio é pedir-lhe que demonstre que os números naturais são todos distintos dois a dois. Portanto, existem infinitos objetos matemáticos!
