A segunda verdade
Analisemos um pouco a primeira verdade da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.
ZF(1) Axioma da Extensão:
se a e b
são conjuntos e se, para todo x 
a se, e somente se, x
b,
então a = b. Economicamente (em símbolos matemáticos):
É muito importante você perceber a estrutura “gramatical” da afirmação acima. Em palavras, lá está escrito que, para qualquer que seja o conjunto x do universo de conjuntos que ainda não conhecemos, se o fato dele pertencer ao conjunto a equivale ao fato dele pertencer ao conjunto b, então vale dizer que a = b. Isso significa que, daqui em diante, sempre que alguém afirmar que a = b, o significado será que um conjunto é elemento de a se, e apenas nesse caso, também for elemento de b. Em outros termos, os dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos.
É muito interessante o fato de que ainda não sabemos se existe algum conjunto. A primeira verdade da teoria ZF não nos diz nada sobre se o universo de conjuntos é povoado por algum conjunto ou não. A primeira verdade ZF-1 apenas esclarece o que significa afirmar que um conjunto é igual a um outro. Parece pouco, não é? Mas é extremamente importante termos um significado preciso dos termos e das frases que escrevemos, assim como das idéias que pensamos e expressamos através de símbolos. Você sabe que isso é de fundamental importância, não precisamos entrar em mais detalhes. Se alguém ainda não entendeu isso, basta comprar um jornal na primeira banca que encontrar, lê-lo com alguma atenção e tentar descobrir a quantidade de “verdades” lá contidas. De qualquer forma, nossa reflexão não admite “enrolação”, “mentiras”, “duplo sentido” ou “sentidos múltiplos”, ou qualquer outro tipo de “manobra verbal” ou “escrita” para sermos “enganados”. É uma grande felicidade podermos “experimentar matematicamente” a possibilidade de construir “um mundo de verdades confiáveis”.
Não estaremos imunes a erros, isto é, pode ser que venhamos a “enganar a nós próprios na elaboração de verdades”. Portanto é possível que nos enganemos e, assim, é possível que venhamos a afirmar “mentiras”. Mas temos a forte crença de que, uma vez apontado um “engano”, “um erro” ou “uma mentira”, por alguém que tenha um “argumento lógico”, todos os outros se convençam do “erro” e o episódio seja esclarecido para sempre. Por exemplo, em algum momento demonstraremos que existem números. Todos estarão convencidos da nossa demonstração, ou alguém apontará um erro que será, inequivocamente, aceito por todos. Desse modo, não acreditamos na possibilidade de “enrolações” de uns contra outros, com finalidade de obter favorecimentos incofessáveis. Se nosso ponto de vista for aceitável uma conclusão é inevitável: em nosso país seria uma revolução, talvez a maior de toda a nossa história, se alguns poucos milhões de cidadãos aprendessem a elaborar verdades matematicamente e, portanto, a perceber “enganações”. Prossigamos com um desafio para você: explique com suas palavras, e dê um exemplo dela, a segunda verdade da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel:
ZF(2) Esquema de Axiomas para a formação de subconjuntos: para todo a, existe b, tal que: para todo x, x pertence a b se, e somente se, x pertence a a e vale a propriedade A(x).
Economicamente (em símbolos matemáticos):
Boa sorte e até a próxima onde analisaremos detalhadamente essa segunda verdade matemática.
