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A quinta verdade

Como podemos tornar as "intuições" da união, da intersecção, da diferença, do complementar, e da diferença simétrica, conceitos matemáticos? Comecemos pela intersecção. Definimos o conjunto intersecção de A e B como sendo o conjunto dos conjuntos que pertencem a A e a B simultaneamente. A razão pela qual a teoria nos autoriza a dar essa definição é que os conjuntos dados A e B formam um conjunto D não vazio que escreveremos da seguinte forma: D = {A, B}. Pelo Axioma 2, o axioma dos subconjuntos, podemos dizer que existe o conjunto dos x tal que " pertence a A e a B simultaneamente" porque essa propriedade se refere aos conjuntos do conjunto não vazio D. Assim, estamos autorizados pelo Axioma 2 a afirmar a existência do conjunto intersecção de dois conjuntos A e B. Da mesma forma podemos argumentar que dado um conjunto de conjuntos D, existe o conjunto dos conjuntos x que pertencem a todos os conjuntos de D. Resumindo, dados dois conjuntos A e B, existe o conjunto

A Ç B = {x: x pertence a A e x pertence a B}.

Para definirmos o conjunto reunião dos conjuntos A e B não poderemos proceder do mesmo modo. Isto é, não poderemos demonstrar que existe o conjunto reunião de A e B a partir dos quatro axiomas que temos até agora (axiomas 0, 1, 2 e 3). Precisamos de um novo axioma: o Axioma 4, chamado de Axioma da Reunião.

Axioma 4

Para todo conjunto C, existe um conjunto U tal que

se x pertence a M, para algum M que pertence a C, então x pertence a U.

Dito de outra forma, dado um conjunto de conjuntos C, existe o conjunto dos conjuntos que pertencem a algum conjunto de C. Podemos ainda ler esse axioma de outras formas. Por exemplo, podemos dizer que existe o conjunto de conjuntos pertencentes aos conjuntos de C para qualquer conjunto dado C. Exemplificando novamente, podemos dizer que dados os conjuntos A e B, existe o conjunto dos conjuntos pertencentes a A e a B simultaneamente. Nesse caso formamos primeiramente o conjunto C = {A, B} e depois formamos o conjunto U dos conjuntos que pertencem a A ou a B. Isto é, escrevemos: U = A È B.

Agora temos cinco axiomas e o mais recente deles nos permite formar o conjunto reunião. Com o axioma da reunião podemos formar o conjunto "terna", generalizando o conceito de conjunto "par". Dados conjuntos A, B e C, definimos, com a ajuda do axioma da reunião, o conjunto {A, B, C} como sendo a reunião dos conjuntos {A}, {B} e {C}. Notem que o conjunto {A} existe por causa do axioma do par que diz que {A, A} é conjunto. Ou seja, {A, A} = {A} é um novo conjunto. Analogamente, os conjuntos {B} e {C} também existem e, portanto, pelo axioma da reunião podemos formar o conjunto reunião {A} È {B} È {C} = {A, B, C}.

É interessante notar que para obtermos a reunião de dois ou mais conjuntos precisamos de um novo axioma, o axioma da reunião. Sugerimos a você refletir um pouco sobre a necessidade desse novo axioma. Tente pensar em como seria possível conceber o conjunto reunião sem que uma nova "verdade" fosse "inventada" para não ser questionada.

O complementar de B em relação a A fica fácil de definir: A – B = {x: x pertence a A mas não pertence a B}. Podemos também dizer que A – B é a diferença entre A e B. Finalmente, a diferença simétrica entre A e B é definida por: A D B = (A – B) È (B – A).

Desafio para você: convença-se de que o complementar, a diferença e a diferença simétrica não necessitam de novos axiomas.

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