A simetria em coisas simples
Há ainda uma pergunta no ar: por que b não pertence a (a, b)? Havíamos afirmado que essa era uma demonstração de que (a, b) ≠ {a, b}. Da mesma forma, poderíamos dizer que a não pertence a (a, b). Mas para vermos com total clareza isso, devemos escrever: (a, b) = {{a}, {a, b}} e então concluir que tanto a como b não pertencem a (a, b). No caso do conjunto a, parece fácil concluir. Se formos às últimas conseqüências descobrimos que isso não é tão simples, e nos deparamos com o problema da existência de conjuntos com “infinitos” parênteses. Essa “aberração” vem da hipótese de que “um conjunto pertence a si mesmo”. Assim, raciocinando com o conjunto a, logo chegamos à idéia de um conjunto pertencendo a si mesmo e, por conseguinte, à idéia de um conjunto com infinitos parênteses. Mas, e se tentássemos ver com toda a clareza o porquê de b não pertencer a (a, b)?
Pensando na expressão (a, b) = {{a}, {a, b}}, raciocinamos que b deve ser igual a {a} ou b deve ser igual a {a, b}. Parece que estamos enrascados: como produzir uma aberração a partir dessas duas idéias? Parece não haver problema algum na idéia de que b = {a}, mas a idéia de que b = {a, b} nos leva à idéia de que b pertence a b. Isto é, a segunda idéia é o que queremos, mas ainda temos que lidar com a possibilidade de que b = {a}. O que fazer?
Vamos fazer um rápido retrospecto: conseguimos demonstrar que uma aberração aparece se admitirmos que a pertence ao par ordenado (a, b). Gostaríamos de saber se também aparece uma aberração ao raciocinarmos que b pertence ao par ordenado (a, b). Mas a situação não parece ser “simétrica”. Ora, seria muito estranho poder demonstrar que (a, b) ≠ {a, b} raciocinando apenas com o conjunto a. Se bem que na definição de par ordenado há uma “assimetria” natural como você pode notar facilmente na expressão que define o par ordenado. Bem, não podemos estranhar esse fato uma vez que “par ordenado” justamente significa que o par está ordenado, isto é, há uma ordem entre seus conjuntos a e b. Se o par está ordenado, então, é claro que não há problema se ele contiver uma assimetria.
Mas, em termos de demonstração, incomoda-nos a idéia de que para demonstrar nossa tese temos que raciocinar necessariamente apenas com o conjunto a. A saída desse desconforto está na simetria de um conceito matemático. Em geral, um conceito matemático contém uma simetria intrínseca, isto é, internamente, na sua própria definição. Por exemplo, quando definimos o número 1 não há como fazê-lo diferentemente do 2 em termos de conceito. Seria estranho, e até intolerável, que na definição do número 2 aparecessem propriedades conceituais diferentes daquelas necessárias para o número 1. Sim, eles são números diferentes, mas ambos são igualmente números e, portanto, conceitualmente, enquanto números, têm que ser “simétricos”. Nós retornaremos a essa questão da definição de número em breve, tão logo o desenvolvimento de nossa história da teoria dos conjuntos o permita. Já poderíamos defini-los, por exemplo, o zero é o conjunto vazio, mas ainda não sabemos se existe algum conjunto, inclusive o conjunto vazio.
Está na hora de decifrarmos nosso enigma de hoje: para demonstrarmos que (a, b) ≠ {a, b}, utilizando o conjunto b, basta considerarmos a simetria {a, b} = {b, a}. É uma simetria muito simples, mas é ela que resolve nosso enigma. Por intermédio dessa simetria podemos raciocinar o seguinte: para demonstrarmos que o par ordenado é diferente do par, supomos que não. Então temos: {b, a}={{b}, {b, a}}, pois estamos supondo que o par ordenado é igual ao conjunto par. Agora é só repetir com b o raciocínio que utilizamos com o conjunto a anteriormente.
