Cuidado com exigências de "experiência anterior"!

Vimos que a partir do conjunto vazio produzimos o primeiro conjunto infinito, o conjunto dos números naturais. Se você é estudante de matemática, cuidado com armadilhas do tipo "o ensino precisa estar ligado à vivência do aluno". Ou ainda pérolas como: "o ensino da matemática deve partir da experiência concreta do aluno" e "o ensino deve partir das vivências do dia a dia do aluno". Se você acreditar nessas estórias, então não poderá aprender o que é um conjunto vazio e será um verdadeiro escândalo para sua consciência "imaginar" um conjunto infinito. Que "vivência" ou "experiência" uma pessoa pode ter tido com o "vazio" ou o "infinito"? Você não acha que basta um pouco de imaginação para aprender esses conceitos básicos de matemática? Será que seus neurônios sofreriam um colapso se você se esforçasse um pouco para imaginar o conjunto dos números naturais?

Você conhece alguém que tenha tido uma experiência "concreta" com o "infinito"? Achamos que você dirá que não. Ficaremos muito surpresos se um dia aparecer alguém afirmando que "teve uma experiência concreta com o vazio e com o infinito". Pois há escolas que fazem planejamentos que prevêem que o aprendizado de um conteúdo só poderá ocorrer se o aluno tiver experiências ou vivências anteriores ligadas a esse "novo" conteúdo! Talvez seja por essa razão que não temos o menor indício da existência de uma escola de ensino fundamental ou médio que permita ao aluno o aprendizado satisfatório do conceito de conjunto vazio e de conjunto infinito. Há uma anedota, que ouvimos certa vez, do professor que definia o conjunto vazio como "o conjunto de fios de cabelo de um careca". Essa anedota tem versões variantes óbvias que não precisamos repetir aqui. Ficará muito fácil de entender porque uma pessoa já na idade adulta poderá dizer que não gosta de matemática. Na verdade ela não pode dizer que não gosta de matemática porque infelizmente ela nunca teve a oportunidade de aprender um pouco de matemática verdadeira.

Os matemáticos descobriram no Século XX quais axiomas eram suficientes para se fazer uma matemática com mais rigor. É fascinante seguir o caminho que se abre com os primeiros axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Qualquer um de nós poderá formular perguntas simples e naturais numa ordem lógica, para prosseguir na obtenção de verdades matemáticas. Com o aparecimento do conjunto dos números naturais temos infinitas maneiras de ser curiosos e pesquisar verdades matemáticas. Mas antes de enveredarmos por uma avenida "aritmética", isto é, por um caminho de curiosidades sobre os números naturais do ponto de vista de "operações", ainda temos muito que nos divertir com curiosidades sobre "conjuntos".

Usaremos nossa "intuição geométrica" para investigarmos um pouco mais os conjuntos. Faremos alguns desenhos para imaginar melhor as propriedades de conjuntos.

Embora certas ideologias de ensino possam ser nefastas, temos que reconhecer que a ideologia que prega o uso da intuição em matemática é extremamente útil. Mostraremos, na próxima coluna, exemplos de perguntas interessantes que se podem fazer em matemática com o auxílio da "intuição", e como podemos descobrir novas verdades matemáticas por intermédio de "boas figuras".

O nosso próximo passo será definir as operações de "intersecção", de "união" e da "diferença simétrica" de conjuntos. Iniciaremos um método de investigação que jogará cada vez mais um papel muito importante em nossa busca de verdades matemáticas. É o método da "antecipação intuitiva" das verdades e suas posteriores demonstrações.