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A solução da angústia de Cantor

A hipótese do contínuo é a hipótese de que, depois do primeiro infinito, a próxima quantidade infinita é a quantidade de pontos de um “contínuo”, a quantidade dos pontos da reta real. Cerca de sessenta anos se passaram, após a descoberta de Cantor desse problema fundamental, até que aparecesse uma solução. Ela foi encontrada por um outro matemático genial, dessa vez da Universidade de Chicago, chamado Paul Joseph Cohen. Na época de Cohen já havia suficiente maturidade matemática na teoria dos conjuntos para que alguém percebesse (provavelmente só Cohen percebeu na época) que a noção de conjunto era muito vaga para que a hipótese do contínuo pudesse ser demonstrada como verdadeira ou falsa. Cohen inventou a técnica do “forcing” — que não tentaremos explicar aqui, pelo menos por enquanto —  para mostrar que a hipótese do contínuo não pode ser demonstrada com os outros axiomas da teoria, assim como sua negação também não pode. Portanto, podemos impor, ou não, a hipótese do contínuo como um axioma independente dos demais, obtendo assim pelo menos duas matemáticas diferentes e contraditórias.

Sossegue, não há ainda, pelo menos até onde estamos informados, duas físicas, uma para cada matemática. Mas é claro que existem pelo menos duas matemáticas diferentes, por exemplo, por causa do trabalho de Cohen. Uma matemática é determinada por um sistema lógico subjacente e por uma teoria de conjuntos. Logo, como já se sabia antes de Cohen, existem infinitas matemáticas porque existem infinitas lógicas. Qualquer mudança em algum axioma do sistema lógico subjacente, ou em algum axioma de uma teoria de conjuntos, pode produzir uma matemática totalmente diferente. Mesmo que seja só uma simples mudança, em apenas um axioma — por exemplo, como aconteceu com a matemática fuzzy (em breve falaremos dessa matemática que tantas aplicações industriais, tecnológicas e científicas tem tido nos seus quarenta anos de existência).

Mas o trabalho de Cohen mostrou que a “hipótese do contínuo”, que Cantor tentou desesperadamente demonstrar é, surpreendentemente, um axioma da teoria dos conjuntos que pode ser afirmado ou negado, produzindo matemáticas diferentes em cada caso.

O curioso é que, aparentemente, só a matemática clássica — aquela que afirma a hipótese do contínuo —  tem interessado à maioria dos físicos. 

Cohen nasceu em 2 de abril de 1934 em Long Branch, New Jersey, Estados Unidos. Doutorou-se em Matemática em 1958, na Universidade de Chicago. Em 1966 ele recebeu a medalha Fields, considerada o prêmio Nobel da Matemática, pelo seu trabalho nos fundamentos das teorias de conjuntos.

O grande matemático David Hilbert, formulou uma lista de 23 problemas como desafio para os matemáticos do Século 20 e a apresentou no Congresso Internacional de Matemática de Paris em 1900. O primeiro problema era a independência da hipótese do contínuo em relação aos outros axiomas das teorias de conjuntos. Cohen teve a distinção de resolver o Problema 1 de Hilbert.

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