Partes e potências
Quanto é a potência "n elevado a zero"?
Essa pergunta finalizou a coluna anterior. Hoje vamos tentar esclarecer a questão
das potências de números naturais.
Você não terá dificuldades em conceber os números naturais como sendo os
conjuntos Æ = 0, {Æ } =
1, {Æ , {Æ }} = 2, {Æ
, {Æ }, {Æ , {Æ
}}} = 3, ... , {0, 1, 2, 3, ... , n -1} = n, ... . Não deixe de
escrever, como exercício, os números naturais até 10 para certificar-se de
que você entendeu realmente o que são os números naturais. A contagem das
partes de um conjunto que possua n conjuntos tem a ver com a potência 
.
Na verdade, precisamos perguntar o que significa uma potência 
.
Uma maneira fácil de concebê-la é pensando que ela significa m*m*...*m,
n vezes. Mas o que significa "multiplicar" o número m
tantas vezes por ele mesmo?
Multiplicar um número m por outro, digamos, p, significa "adicionar" m com ele mesmo p vezes. Mas o que significa adicionar um número m "p vezes"? Descobrimos que ainda não sabemos o que significa adicionar dois números naturais. Mas isso é fácil. Primeiramente, vamos ver como podemos adicionar m + 1. Simplesmente escrevemos m + 1 = m È {m}. É por isso que podemos dizer que 0 + 1 = 1, 2 + 1 = 3, etc.. Por exemplo, note que 2 + 1 = 2 È {2} = {0, 1} È {2} = {0, 1} È {{0, 1}} = {0, 1, {0, 1}} = {0, 1, 2} = 3. Para ter certeza de que você realmente entendeu a definição da "adição de m com 1", demonstre por você mesmo que: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 3 + 1 = 4, e mais algumas verdades que tenha vontade de demonstrar. Estamos num momento fascinante de nossa aventura matemática: pelo que acabamos de fazer percebemos imediatamente que existem infinitas verdades em matemática. Basta imaginar as verdades 0 + 2 = 2, 2 + 2 = 4, 3 + 2 = 5, ... , etc..
Você deve estar perguntando: mas o que significa m + 2? Você mesmo pode responder essa questão: significa (m + 1) + 1. Como você já sabe o que significa m + 1, então facilmente você também sabe o que significa m + 2. Se você continuar pensando assim por analogia, saberá facilmente o que significa m + n.
Voltando ao nosso problema de saber como multiplicar m por p,
simplesmente convencionamos que m*p = m + m + ... + m,
p vezes. Agora estamos prontos para explicar o que significa a potência 
.
Simplesmente ela significa m*m* ... *m, n vezes.
Novamente, não vale a pena prosseguir se você não tem certeza de que entendeu
o que é uma potência natural. Vamos dar um exemplo simples:
.
Se você não entende esse exemplo leia novamente esse texto desde o começo.
Calcule agora mesmo por você mesmo: 
,
,
,
e outras potências bem simples para verificar seu entendimento.
O nosso problema é, finalmente, explicar com muita clareza e simplicidade
como se pode interpretar uma potência
.
Para isso, vamos imaginar uma transformação de
conjuntos. Essa idéia nada mais é do que fazer corresponder aos
conjuntos de um conjunto, outros conjuntos de um segundo conjunto. Exemplo: {1,
2} à {2, 4}. A transformação aqui é aquela que
"dobra" números. Uma transformação de conjuntos pode ter a mais
arbitrária regra de associação. Por exemplo: tome um conjunto, considere uma
parte sua e forme um "pacote"; com a parte restante forme "outro
pacote", o pacote restante. Em outras palavras, pense no conjunto {0, 1, 2,
3}. Considere a sua parte {0, 1, 2} e a parte que sobrou {3}. Então, dizemos
que {0, 1, 2} é um pacote e {3} é o pacote restante. Assim, transformamos a
parte {0, 1, 2} no conjunto 0 (formando um pacote) e a parte {3} no conjunto 1
(formando o pacote restante). Isto é, os números 0, 1 e 2 se transformaram no
0 e o 3 se transformou no 1. Portanto, quando perguntamos quantas partes tem um
conjunto {0, 1, ..., n – 1}, estamos querendo saber quantas vezes
podemos formar pacotes. Em outras palavras, estamos querendo saber quantas
transformações existem do conjunto {0, 1, ... , n – 1} no conjunto
{0, 1}. Por exemplo, quantos "empacotamentos" de {0, 1, 2} existem? Ou
seja, quantas transformações existem de {0, 1, 2} em {0, 1}? Mostre que
existem 8. Não se esqueça de formar o pacote vazio. Então responda "por
pacotes": quanto é "n elevado a zero"?
