Desafio 008

Coloque os algarismos de 1 a 9 dispostos nas 9 casas de um tabuleiro de Jogo da Velha, de maneira que a soma dos 3 algarismos de qualquer reta e qualquer diagonal seja igual a 15.

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Solu��o do Desafio 008

Atualmente h� muitas refer�ncias para a solu��o dos chamados quadrados m�gicos (este � o "nome do jogo"), mas aqui, vamos utilizar um racioc�nio intuitivo para buscar a solu��o deste desafio:

Nossa primeira preocupa��o ser� encontrar grupos de 3 algarismos distintos cuja soma seja 15. O processo dever� ser o mais natural poss�vel, consistindo em organizar fam�lias do menor para o maior algarismo.

  • Come�ando com a fam�lia do 1, poder�amos pensar em 2 para o pr�ximo elemento do grupo, mas ainda faltaria 12 para atingirmos a soma 15. Ent�o, o segundo algarismo deve ser 5 para que o terceiro seja o maior poss�vel, ou 9, de modo a se ter a soma 15. Com este procedimento obteremos a fam�lia de grupos de algarismos come�ando com 1:
    159
    168
    A fam�lia do 1 s� possui 2 grupos e n�o foi poss�vel utilizar os algarismos 2, 3, 4, 7.

  • A pr�xima fam�lia ser� dos grupos come�ando com 2. e os outros dois membros dever�o somar 13:
    249
    258
    267
    Algarismos n�o utilizados: 1, 3.

  • Fam�lia do 3:
    348
    357
    Algarismos n�o utilizados: 1, 2, 6, 9.

  • Fam�lia do 4:
    429
    438
    456
    Algarismos n�o utilizados: 1, 7.

  • Fam�lia do 5:
    519
    528
    537
    546
    Os 9 algarismos foram utilizados!

  • Fam�lia do 6:
    618
    627
    645
    Algarismos n�o utilizados: 3, 9.

  • Fam�lia do 7:
    726
    735
    Algarismos n�o utilizados: 1, 4. 8, 9.

  • Fam�lia do 8:
    816
    825
    834
    Algarismos n�o utilizados: 7, 9.

  • Fam�lia do 9:
    915
    924
    Algarismos n�o utilizados: 3, 6. 7, 8

A configura��o do chamado "Jogo da Velha" � conhecida como Matriz 3 × 3, isto �, um conjunto entrela�ado de 3 linhas e 3 colunas formando um "quadrado" com 9 c�lulas. No caso presente, os 9 algarismos devem ocupar as 9 c�lulas de tal forma que, em qualquer linha, em qualquer coluna ou em qualquer diagonal, a soma dos 3 algarimos seja sempre 15, formando o chamado Quadrado M�gico 3 × 3
   
   
   

Considera��es sobre o Quadrado M�gico 3 × 3 cuja soma � igual a 15:

  • A c�lula central pertence simultaneamente � linha central, � coluna central e �s duas diagonais, formando quatro grupos de algarismos onde um deles � comum a todos.

  • A familia do 5 � a �nica que re�ne 4 grupos de algarismos, o que nos leva a concluir que o algarismo 5 deve ocupar a posi��o central da matriz:
       
     5 
       

  • Por observa��o, verificamos que h� 4 fam�lias com 3 grupos (2, 4, 6, 8) e 4 fam�lias com 2 grupos (1, 3, 7, 9). Em qualquer caso, h� sempre um grupo contendo o algarismo 5.

  • Observamos ainda que, das c�lulas v�rtices do quadrado, s�o gerados sempre 3 grupos de algarismos, ocupando uma linha, uma diagonal e uma coluna. Dessa forma, as fam�lias de 3 grupos, isto �, 2, 4, 6 e 8, devem ocupar tais posi��es:
    2 4
     5 
    6 8

  • Resta-nos portanto "encaixar" as familias de 2 grupos, isto �, 1, 3, 7 e 9 nas c�lulas ainda vazias, tomando o cuidado de verificar, em cada caso, se a soma com os demais algarismos da mesma linha ou coluna totaliza 15:
    294
    753
    618

O resultado acima seria uma resposta plenamente satisfat�ria ao desafio proposto. Por�m devemos ainda considerar algumas outras possibilidades.
O fato de escolhermos o primeiro v�rtice para a posi��o do algarismo 2 foi de pura conveni�ncia porque poder�amos escolher qualquer dos demais v�rtices para iniciar o racioc�nio.
Geometricamente, a escolha dos demais v�rtices significa promover uma "rota��o" na matriz onde o eixo de rota��o seria perpendicular ao papel. Vamos ent�o escolher o sentido anti-hor�rio para rota��es sucessivas de 90 graus. Dessa forma obtemos mais 3 solu��es poss�veis:
438
951
276
816
357
492
672
159
834

Tomemos a primeira solu��o e imaginemos um outro tipo de rota��o na qual o eixo agora seria vertical, pertencente ao plano do papel e, digamos, passando pelo centro da matriz. Vamos promover uma rota��o de 180 graus (os n�meros permanecem como s�o):
492
357
816


Se nesta nova solu��o promovermos mais 3 rota��es de 90 graus com o eixo perpendicular ao plano do papel, encontraremos mais 3 solu��es poss�veis:
276
951
438
618
753
294
834
159
672

Resposta:

Ao reunirmos todas as solu��es acima teremos um conjunto de 8 quadrados m�gicos como solu��o ao desafio proposto:
294
753
618
438
951
276
816
357
492
672
159
834
492
357
816
276
951
438
618
753
294
834
159
672

Nota Final:

Poder�amos ainda pensar em promover uma rota��o com eixo horizontal, mas em 2D, como ver�amos, as solu��es seriam redundantes, isto �, coincidiriam com as solu��es j� encontradas.