Desafio 008

Coloque os algarismos de 1 a 9 dispostos nas 9 casas de um tabuleiro de Jogo da Velha, de maneira que a soma dos 3 algarismos de qualquer reta e qualquer diagonal seja igual a 15.

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Solução do Desafio 008

Atualmente há muitas referências para a solução dos chamados quadrados mágicos (este é o "nome do jogo"), mas aqui, vamos utilizar um raciocínio intuitivo para buscar a solução deste desafio:

Nossa primeira preocupação será encontrar grupos de 3 algarismos distintos cuja soma seja 15. O processo deverá ser o mais natural possível, consistindo em organizar famílias do menor para o maior algarismo.

  • Começando com a família do 1, poderíamos pensar em 2 para o próximo elemento do grupo, mas ainda faltaria 12 para atingirmos a soma 15. Então, o segundo algarismo deve ser 5 para que o terceiro seja o maior possível, ou 9, de modo a se ter a soma 15. Com este procedimento obteremos a família de grupos de algarismos começando com 1:
    159
    168
    A família do 1 só possui 2 grupos e não foi possível utilizar os algarismos 2, 3, 4, 7.

  • A próxima família será dos grupos começando com 2. e os outros dois membros deverão somar 13:
    249
    258
    267
    Algarismos não utilizados: 1, 3.

  • Família do 3:
    348
    357
    Algarismos não utilizados: 1, 2, 6, 9.

  • Família do 4:
    429
    438
    456
    Algarismos não utilizados: 1, 7.

  • Família do 5:
    519
    528
    537
    546
    Os 9 algarismos foram utilizados!

  • Família do 6:
    618
    627
    645
    Algarismos não utilizados: 3, 9.

  • Família do 7:
    726
    735
    Algarismos não utilizados: 1, 4. 8, 9.

  • Família do 8:
    816
    825
    834
    Algarismos não utilizados: 7, 9.

  • Família do 9:
    915
    924
    Algarismos não utilizados: 3, 6. 7, 8

A configuração do chamado "Jogo da Velha" é conhecida como Matriz 3 × 3, isto é, um conjunto entrelaçado de 3 linhas e 3 colunas formando um "quadrado" com 9 células. No caso presente, os 9 algarismos devem ocupar as 9 células de tal forma que, em qualquer linha, em qualquer coluna ou em qualquer diagonal, a soma dos 3 algarimos seja sempre 15, formando o chamado Quadrado Mágico 3 × 3
   
   
   

Considerações sobre o Quadrado Mágico 3 × 3 cuja soma é igual a 15:

  • A célula central pertence simultaneamente à linha central, à coluna central e às duas diagonais, formando quatro grupos de algarismos onde um deles é comum a todos.

  • A familia do 5 é a única que reúne 4 grupos de algarismos, o que nos leva a concluir que o algarismo 5 deve ocupar a posição central da matriz:
       
     5 
       

  • Por observação, verificamos que há 4 famílias com 3 grupos (2, 4, 6, 8) e 4 famílias com 2 grupos (1, 3, 7, 9). Em qualquer caso, há sempre um grupo contendo o algarismo 5.

  • Observamos ainda que, das células vértices do quadrado, são gerados sempre 3 grupos de algarismos, ocupando uma linha, uma diagonal e uma coluna. Dessa forma, as famílias de 3 grupos, isto é, 2, 4, 6 e 8, devem ocupar tais posições:
    2 4
     5 
    6 8

  • Resta-nos portanto "encaixar" as familias de 2 grupos, isto é, 1, 3, 7 e 9 nas células ainda vazias, tomando o cuidado de verificar, em cada caso, se a soma com os demais algarismos da mesma linha ou coluna totaliza 15:
    294
    753
    618

O resultado acima seria uma resposta plenamente satisfatória ao desafio proposto. Porém devemos ainda considerar algumas outras possibilidades.
O fato de escolhermos o primeiro vértice para a posição do algarismo 2 foi de pura conveniência porque poderíamos escolher qualquer dos demais vértices para iniciar o raciocínio.
Geometricamente, a escolha dos demais vértices significa promover uma "rotação" na matriz onde o eixo de rotação seria perpendicular ao papel. Vamos então escolher o sentido anti-horário para rotações sucessivas de 90 graus. Dessa forma obtemos mais 3 soluções possíveis:
438
951
276
816
357
492
672
159
834

Tomemos a primeira solução e imaginemos um outro tipo de rotação na qual o eixo agora seria vertical, pertencente ao plano do papel e, digamos, passando pelo centro da matriz. Vamos promover uma rotação de 180 graus (os números permanecem como são):
492
357
816


Se nesta nova solução promovermos mais 3 rotações de 90 graus com o eixo perpendicular ao plano do papel, encontraremos mais 3 soluções possíveis:
276
951
438
618
753
294
834
159
672

Resposta:

Ao reunirmos todas as soluções acima teremos um conjunto de 8 quadrados mágicos como solução ao desafio proposto:
294
753
618
438
951
276
816
357
492
672
159
834
492
357
816
276
951
438
618
753
294
834
159
672

Nota Final:

Poderíamos ainda pensar em promover uma rotação com eixo horizontal, mas em 2D, como veríamos, as soluções seriam redundantes, isto é, coincidiriam com as soluções já encontradas.

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