Princípios e ideais de um estudante de matemática do Século 21 (IV)

O que é “estudo axiomático da Matemática”? Como se faz para se obter e para se conhecer verdades matemáticas com rigor? O estudante que nunca se perguntar essas questões jamais iniciará verdadeiramente o seu estudo de Matemática, pelo menos aquela fascinante Matemática que herdamos de gente como David Hilbert.  Estamos prontos para o segundo princípio. Não se iluda! Se não for capaz de alfabetizar-se por si mesmo, e corretamente, em Matemática, ninguém o fará por você. A sua autonomia intelectual é sua única esperança de progredir verdadeiramente em Matemática! Você está, ao mesmo tempo, livre para pensar e condenado a desconfiar de todas as afirmações que se lhe apresentarem, até que você mesmo as demonstre ou se convença de que poderia demonstrá-las.  

Portanto, confira tudo que estiver aprendendo de Matemática. Tanto o que está escrito nos livros, como o que lhe é dito por professores, ou por seus colegas. Não deixe escapar “seus próprios pensamentos” e sua “intuição”, pois eles podem enganá-lo ou induzí-lo a erro muito mais facilmente do que parece.  

Em 1931, o matemático Kurt Gödel, em Viena, na Áustria, demonstrou que, se a Matemática, fundamentada no Principia Mathematica de Russel e Whitehead, for consistente, então existem verdades matemáticas que não são demonstráveis. Imaginamos que seja constrangedor para um estudante de Matemática, seja ele um futuro professor de Matemática, ou um futuro Bacharel em Matemática, graduar-se sem ter esse conhecimento tão fundamental. Temos aqui mais um critério simples, derivado dos dois primeiros princípios: é interessante saber se seus esforços não estão se consumindo com Matemática obsoleta; é interessante verificar por você mesmo se os seus estudos estão contemplando um mínimo de conhecimento de Lógica Matemática, por exemplo, noções dos Teoremas de Incompletude de Gödel, e a informação de que ninguém sabe se a Matemática é consistente ou não!

Por volta de 1974, o matemático Gregory Chaitin empenhou-se em mostrar que “a maioria das verdades matemáticas é indemonstrável”. O estudante de Matemática consciente não se permitiria a ignorância desse fato. Se Gödel descobriu que “existem verdades matemáticas indemonstráveis”, somente 40 anos mais tarde se percebeu que era interessante perguntar se, por acaso, a quantidade de verdades matemáticas indemonstráveis não seria somente um número irrelevante. Mas Chaitin tem chamado a atenção para o fato de que esse número não é irrelevante, ao contrário, o número de verdades demonstráveis é que é “pequeno”!

Nós, os que aqui escrevem, passamos por toda a graduação e a pós-graduação ignorando esse fato. Uma desculpa é que nas décadas de 70 ou de 80 a informação científica ainda não circulava de modo tão amplo, eficaz e rápido. Hoje é muito fácil conhecer as idéias de Chaitin, basta visitar seu site na Internet. Essa idéia de Chaitin é grave e tem grande repercussão na maneira como devemos estudar Matemática. Se levarmos essa informação às últimas conseqüências, teremos que analisar seriamente a possibilidade de mudarmos profundamente nossas estratégias atuais de estudo e de pesquisa. Não nos aprofundaremos nessa discussão aqui pois o nosso objetivo agora é apenas sugerir uns poucos princípios e ideais que, se seguidos pelo estudante de Matemática, sejam eficientes para a elevação da sua consciência à altura histórica do Século 21. De qualquer forma, aí está um exemplo, que aconteceu com esses que escrevem essa coluna, de que é até muito fácil passar por uma faculdade, na verdade por várias, ignorando informações fundamentais que já são parte da Matemática.

Não é de se surpreender que haja muitos outros exemplos. Eles são, inclusive, até dramáticos. Nos anos 70, enquanto cursávamos nossa primeira faculdade, várias revoluções espetaculares aconteciam na Matemática, das quais tivemos ignorância absoluta!

Estudantes regularmente matriculados nas Faculdades de Matemática brasileiras nas décadas de 70 e de 80 estavam profundamente ocupados com seus “tópicos antigos de Matemática” e não puderam tomar conhecimento, àquela época, das revoluções espetaculares que aconteciam em várias áreas da Matemática. Foi o caso desses que escrevem essa coluna. Exemplos: a descoberta de que os fenômenos não lineares não são uma parte irrelevante da Ciência, muito pelo contrário, são quase que a totalidade da Natureza!

Surpreendentemente, a descoberta de que as funções de primeiro e segundo grau já revelam, se estudadas de um certo ponto de vista, o mundo fascinante do Caos, da emergência da Ordem dentro do Caos, da auto-organização do Caos, da bifurcação presente universalmente nos fenômenos da Natureza, da constante de Feigenbaum, da Geometria dos Fractais (chamada por Mandelbrot de “a verdadeira geometria da Natureza”), e de muito mais que não poderíamos relacionar aqui. Em outras palavras, a descoberta fascinante e gravíssima de que a imprevisibilidade e a irregularidade da Natureza já estão presentes no comportamento de funções “ridiculamente simples, de uma variável”!

Nossas sugestões têm um pouco da pretensão de evitar que “o nosso desperdício de tempo” não seja repetido pelos estudantes atuais que gostam de Matemática e suspeitam que ela é muito importante. Ninguém aqui está afirmando que seja fácil cursar uma faculdade de Matemática e, ao mesmo tempo, conscientizar-se dos principais fatos que ocorrem todos os dias revolucionando e fazendo avançar a Matemática. Mas existem alguns fatos sobre os quais o estudante de Matemática jamais aceitará ser ignorante. Para isso ele deve seguir certos princípios e ideais nobres que o guiarão por um caminho que contém as principais paisagens que precisam ser vistas. Como terceiro princípio sugerimos o seguinte: procurar distinguir livros e textos, que divulgam didaticamente o conhecimento matemático, dos livros escritos para especialistas de uma certa área.

O estudante de Matemática deve procurar os livros e textos que, honestamente, divulgam de modo competente o conhecimento matemático para um iniciante. Infelizmente há livros que, ao invés de ajudar, atrapalham e podem até mesmo provocar prejuízos irreparáveis na formação do estudante. Um livro não está isento de erros só porque é um livro publicado. O estudante deve estar atento para o fato de que mesmo bons livros podem conter erros graves. Assim, o estudante prudente procurará sempre se inteirar de um assunto específico, qualquer que seja ele, por intermédio de vários livros, digamos, pelo menos 3! Esse é um número arbitrário, “um chute”, mas é muito melhor do que uma fonte única e ainda melhor do que apenas duas fontes de referência.

Há certos “sinais” que sugerem a má qualidade de um livro ou a ineficiência dele para o progresso do estudante. Por exemplo, recentemente tomamos contato com um livro de Cálculo “novo no mercado” que não trazia índice remissivo. Nenhuma razão foi apresentada pela editora para a colocação de mais um livro de Cálculo no mercado, o que é estranho pois já existem centenas de livros bons de Cálculo disponíveis para compra. O estudante deve procurar uma boa razão para estudar um livro. Se o livro não apresenta índice remissivo, então ele pode ter sido colocado no mercado com grande descaso da editora pelos leitores, uma vez que o índice remissivo é de grande importância para qualquer estratégia de leitura e estudo.

Mais um exemplo: sempre que examinamos um livro de Cálculo de Várias Variáveis procuramos pela demonstração do Teorema de Stokes; se ela nos parecer bem explicada, inteligível e correta, então teremos grande atração por esse livro. Um outro exemplo vem da Álgebra: um livro sobre Teoria dos Grupos que não apresenta os Teoremas de Sylow em sua forma completa, inclusive com a estratégia de demonstração que usa ações de grupos, descoberta por Wielandt, não merece credibilidade do estudante do Século 21. A importância desses teoremas e a beleza da demonstração de Wielandt são imperdíveis para um espírito da Era da Informação e do Conhecimento.