Simetria, Anti-simetria e Quebra de Simetria IV

Perguntávamos: quais outras interpretações de fenômenos físicos são possíveis com os vetores planos e suas operações?

        Recordemos a importante fórmula, do cálculo do trabalho elementar que a força z realiza sobre um corpo ao longo do deslocamento w, dada por:

z·w = |z|.|w| cos a = aA + bB,

onde a é o menor dos dois ângulos entre z = (a, b) e w = (A, B).  Denominamos esse cálculo de “produto escalar de z por w”.

        Descobrimos que há ainda mais uma multiplicação admissível para os vetores planos complexos com importante significado físico: é o chamado produto vetorial conhecido também do nosso leitor cujo comprimento é a área do paralelogramo de lados |z| e |w| dada por |z ´ w| = |z|.|w| sen a, onde z ´ w.   É interessante lembrar que z ´ w é um vetor também, mas um vetor no espaço fora do plano dos vetores complexos. Essa invenção não é arbitrária, ela tem uma motivação física importante. Inventou-se esse produto como um vetor perpendicular ao plano de z e w, tendo como sentido aquele dado pela Regra da Mão Direita, ou Regra do Saca-rolha, e como comprimento a área do paralelogramo gerado por z e w.

        Mas como calculá-lo? Aproveitemos a oportunidade para observar que os físicos deram uma interpretação generalizada para o produto vetorial de dois vetores no espaço e não apenas no plano complexo. Dois vetores z = (a, b, c) e w = (A, B, C) no espaço produzem um torque, ou uma grande variedade de outras interpretações físicas. Surpreendentemente, a operação matemática que fornece o produto é uma só e se realiza por meio de um procedimento de combinação das coordenadas dos dois vetores. Para a Matemática, essa combinação tem uma motivação na beleza da simetria.

        Para entendermos a gênese do produto vetorial, lembramos que uma necessidade dos físicos é ter um produto que se comporta da seguinte forma quando aplicado aos vetores básicos unitários i,  j e k, que geram os três eixos espaciais, respectivamente, eixo x, eixo y e eixo z:

i ´ j = k,  j ´ i = – k,  j ´ k = i, k ´ j = – i, i ´ k = – i, k ´ i = j

(Regra da Mão Direita ou Regra do Saca-Rolha)

i ´ i = 0, j ´ j = 0, k ´ k = 0.

        Essas especificações atendem às necessidades do cálculo, por exemplo, do torque. Para o matemático, entretanto, uma necessidade é satisfazer a curiosidade de ver o que acontece se a multiplicação é distributiva em relação à adição. Unindo, então, os desejos dos físicos e dos matemáticos, obtemos o produto vetorial. Assim, para obtermos o produto vetorial de z = (a, b, c)        e w = (A, B, C) procedemos, matematicamente, da seguinte maneira:

z ´ w =

(ai + bj + ck) ´ (Ai + Bj + Ck) = ai ´ Ai + ai ´Bj + ai ´ Ck + bj ´ Ai + bj ´ Bj + bj ´ Ck + ck ´ Ai   + ck ´ Bj + ck ´ Ck = aA i´i + aB i´j + aC i´k + bA j´i  +  bB j´j + bC  j´ k + ca k´i  + cb k´j + cc k´k = aB i´j + bA j´i  + aC i´k  + ca k´i  +  bC j´k + cb k´j = aB i´j ─ bA i´j + aC i´k ─          cA i´k +  bC j´k ─ cB j´k = (aB ─ bA) i´j  + (aC ─ cA) i´k  +  (bC ─ cB) j´k = (aB ─ bA) k +        (aC ─ cA) (─ j)  +  (bC ─ cB) i  = (bC ─ cB) i  ─ (aC ─ cA) j + (aB ─ bA) k.

        Observemos a combinação “anti-simétrica” das coordenadas. No coeficiente de i entram os coeficientes de j e de k combinados anti-simetricamente na forma bC ─ cB. Analogamente, os outros dois coeficientes são obtidos pela mesma filosofia anti-simétrica. Há um sinal de menos na obtenção do coeficiente de j que parece um pouco misterioso. A razão desse sinal é a necessidade de atender o desejo dos físicos e o desejo dos matemáticos, como já observamos, mas ele parecia muito estranho até o momento em que os matemáticos descobriram que ele existe naturalmente em dimensões mais altas.

        O que ocorreu foi que investigando-se os determinantes de matrizes de ordem maior do que dois, observou-se que é possível desenvolver uma teoria naturalmente simétrica que, em dimensão três, aparece dessa forma, com esse sinal de menos nessa posição. A simetria da teoria dos determinantes está, justamente, na combinação anti-simétrica bC ─ cB, aC ─ cA e aB ─ bA das coordenadas dos dois vetores. O termo ─ (aC ─ cA) se explica naturalmente pela estrutura da teoria dos determinantes em dimensões maiores do que dois.

        Fazendo um balanço, perguntamos como se pode explicar que os desejos dos físicos não sejam conflitantes com os desejos dos matemáticos? Ao contrário, a união dos dois tipos de desejos parece ter uma força poderosa no desvendamento do comportamento da Natureza. Até onde o Homo sapiens sapiens conseguirá ir por meio desse casamento?

        Para tentar entender um pouco mais essa história, analisemos mais de perto o significado geométrico, já que não podemos fazer experiências físicas aqui, do produto vetorial. Os físicos queriam que i ´ j = k, mas percebiam que o vetor produto k tem como comprimento a área do retângulo formado por i e j. Surpreendentemente, esse padrão se generaliza, ou seja, o produto vetorial z ´ w = (bC ─ cB) i  ─             (aC ─ cA) j + (aB ─ bA) k é um vetor cujo comprimento é a área do paralelogramo formado por z e w no espaço. Isso é um fato notável: uma área que mede uma figura de dimensão dois ressurge em terceira dimensão medindo um comprimento. É como se a Natureza fosse se reproduzindo em novas dimensões com as mesmas medidas que já usou nas dimensões mais baixas. Em outras palavras, o vetor produto        z ´ w mede a área formada pelos seus fatores z e w. E ainda mais, o produto é orientado, ou seja, é um vetor que aponta para um sentido bem definido escolhido entre dois possíveis por meio de uma regra de rotação. Se calcularmos w ´ z a rotação é oposta sendo agora “de w para z” e obtemos w ´ z =             (cB ─ bC) i  ─ (cA ─ aC) j + (bA ─ aB) k. Assim, vemos que w ´ z = ─ (z ´ w) de onde dizemos que o produto vetorial é anti-comutativo. 

        A área |z ´ w| = |z|.|w| sen a = |(bC ─ cB) i  ─ (aC ─ cA) j + (aB ─ bA) k| do paralelogramo formado por z e w tem importantes interpretações físicas. Concluímos que, enquanto o produto escalar z . w = |z|.|w| cos a = aA + bB + cC de dois vetores z = (a, b, c) e w = (A, B, C) mede um tipo de energia (por exemplo, trabalho realizado por uma força), o produto vetorial mede também outro tipo de energia, por exemplo, o torque, energia que produz uma rotação. Portanto, um vetor pode representar um fenômeno da Natureza e as operações entre vetores continuam representando fenômenos da Natureza.  

        É inevitável, então, perguntar: que outras operações entre vetores representam fenômenos da Natureza?

        Que álgebras de vetores são capazes de desvendar o comportamento da Natureza?

        Até onde o Homo sapiens sapiens pode ir nessa investigação da Natureza?

        Na próxima coluna ainda analisaremos um pouco como os engenheiros se aproveitaram da multiplicação usual dos números imaginários                    

zw = |z| e^iq |w| e^if = |z| |w| e^{i(q + f)}   = (a + bi) (A + Bi) = (aA – bB) + (aB + bA) i

ao estudarem circuitos elétricos.