Simetria na Matemática V

Da Física aprendemos que o “comprimento de Planck” pode ser a menor quantidade produzida pela Natureza. Os físicos utilizam freqüentemente a “notação científica” para representar “ordens de grandeza”. Assim, o comprimento de Planck se escreve como 10^-35 metros. Lembremos que o diâmetro de um átomo, só para compararmos, pode variar de   10^-15 metros a 10^-10 metros. Portanto, a ordem de grandeza do comprimento de Planck é vinte vezes menor do que o diâmetro de um átomo:  10^-35 = 10^-15 ´ 10^-20.

A chave para entendermos a simetria entre o infinitamente grande e o infinitamente pequeno é justamente o costume dos físicos de representar ambos por meio da notação científica. A cada número muito grande, digamos 10³⁵, fazemos corresponder um número muito pequeno, nesse caso o número 10^-35. Observemos que o produto desses dois números é 1, pois 10^-35 é, no sistema posicional, 0 seguido de vírgula e mais 34 zeros seguidos de 1, enquanto que 10³⁵ é 1 seguido de 35 zeros antes da vírgula. Ao multiplicarmos um pelo outro, cada zero antes da vírgula de 10³⁵ faz a vírgula do outro mudar uma casa para a direita. Assim ao final obteremos 10^-35 ´ 10³⁵ = 1! Observemos que a conta que fizemos foi como se estivéssemos simplesmente efetuando 10^-35+35 = 10⁰ = 1. Em palavras, mover a vírgula 35 casas para a esquerda e depois 35 casas para a direita deixa o 1 inalterado.

A vírgula é o divisor de águas entre o grande e o pequeno. Podemos produzir números cada vez menores simplesmente colocando zeros após a vírgula, quantos quisermos, seguidos de qualquer algarismo. Por exemplo, 0,000000000000000000000007. Da mesma forma, e simetricamente, podemos obter um número cada vez maior escrevendo um algarismo seguido de quantos zeros quisermos. Por exemplo, 70.000.000.000.000.000.000.000. Observemos que é muito mais fácil representar números grandes no Sistema Posicional Decimal do que encontrar nomes para eles.

Em Física não podemos extrapolar o comprimento de Planck para quantidades ainda menores, mas em Matemática não há limites para nossa imaginação. Assim como não se conhece quantidade menor do que o comprimento de Planck, também não se sabe se há mais de 10¹⁰⁰ átomos em nosso Universo observável.                 Em nossa imaginação não há problemas em conceber números como 10¹⁰⁰⁰ e 10^-1000. E mais ainda, o produto desses dois é igual a 1! Essa é a parte interessante. Há uma estrutura multiplicativa notável que analisaremos com mais detalhes agora.

Todo número da forma 10^N corresponde a outro da forma 10^-N e o produto de um pelo outro é 1. Podemos, então, perguntar: será que para cada número grande não haveria também um número pequeno tal que o produto dos dois é sempre 1? Se supusermos isso para todo número positivo, então temos as seguintes informações sobre os números positivos:

(a)    todo número positivo admite um outro tal que o produto dos dois é 1;

(b)   ao multiplicarmos três números positivos podemos fazê-lo em qualquer ordem;

(c)    o 1 é neutro na multiplicação.

A propriedade (a) é resultado de nosso desejo de que aquela simetria interessante entre grande e pequeno se estenda para todos os números positivos. A propriedade (b) é resultado de nosso desejo de não estragar um conhecimento que já tínhamos sobre a multiplicação, o de que não importa a ordem na qual multiplicamos três números. Finalmente, a propriedade (c) é uma observação muito útil e importante. Ela nos diz que o 1 é um elemento neutro na multiplicação de números.

Porém, surge imediatamente uma dúvida: por que diabos selecionamos justamente essas três propriedades? Porque três é o número mínimo de propriedades que precisamos para descrever uma simetria. Números que satisfazem essas três propriedades formam uma estrutura simétrica chamada grupo. Essa estrutura simétrica chamada grupo tem sido muito utilizada na Física para medir simetrias da Natureza, e tem gerado uma quantidade enorme de novos conhecimentos na própria Matemática.

Os números inteiros positivos e negativos formam um grupo, mas em relação à adição. Isto é, para inteiros consideramos as mesmas três propriedades acima trocando a palavra multiplicação por adição, o que nos obriga a trocar também o elemento neutro que passa a ser o zero. Dizemos que a simetria dos inteiros é aditiva enquanto que a simetria dos números positivos grandes e pequenos é multiplicativa. Para os inteiros escrevemos:

(a) todo número inteiro admite um outro tal que a soma dos dois é 0;

(d)   ao adicionarmos três números inteiros podemos fazê-lo em qualquer ordem;

(e)    o 0 é neutro na adição.

Pode-se perguntar agora: por que ficamos sem os negativos na simetria entre grandes e pequenos?                 Essa pergunta é interessante e necessária nesse momento. A resposta é que há uma cópia simétrica quase perfeita do grupo multiplicativo dos positivos grandes e pequenos se colocarmos os positivos com sinal negativo do lado esquerdo do 0 em uma reta numérica. Todo positivo grande ou pequeno tem o seu simétrico em relação ao 0 situado à mesma distância do zero. Por exemplo, 1.000 e 0,001 têm seus simétricos –1.000 e –0,001. Dissemos cópia simétrica quase perfeita porque ao multiplicarmos negativos obtemos um positivo que cai fora do lado negativo da reta numérica. Contudo, podemos “enxergar” para cada negativo muito distante do zero um “simétrico” negativo bem próximo de zero. Por exemplo, –1.000.000 e – 0,000001.

A fotografia final da simetria entre números grandes e pequenos pode, então, ser descrita da seguinte maneira: na reta numérica, do lado direito do 0, se situam os positivos grandes e pequenos formando um grupo multiplicativo. Para cada número positivo grande, isto é, bem distante do zero à direita, existe um negativo bem distante do zero à esquerda. Para cada número positivo bem pequeno, isto é, bem próximo de zero, existe um negativo bem próximo de 0 mas à esquerda. Os negativos distantes ou próximos de zero não formam um grupo. Os negativos junto aos positivos ainda formam um grupo multiplicativo, pois as três propriedades de grupo são ainda satisfeitas.