Simetria, Anti-simetria e Quebra de Simetria I

Em sua interpretação de padrões do Universo, seres vivos precisam da contagem. Ela não é exclusividade do Homo sapiens sapiens (Hoss), mas essa espécie é a única conhecida capaz de perceber que existem infinitas possibilidades para a mais simples das contagens de coisas.

Os números naturais N são o modelo para a mais simples das contagens:

 N = {0, 1, 2, 3, ...}.

 O processo de contagem simples envolve duas operações com os números naturais, a saber, a adição “+” e a multiplicação “×”. Ou seja, o sistema básico de contagem é constituído de dois sistemas. O sistema aditivo possui o elemento distinguido “0” (zero) e o sistema multiplicativo possui o elemento distinguido “1” (um).

Dizemos que áN, +, 0ñ  e  áN, ×, 1ñ são monóides, isto é, ambos possuem um elemento neutro para sua operação.

a + 0 = a = 0 + a,

a ×1 = a = 1× a

 para qualquer elemento a em N.  

A operação de adição surge naturalmente nas contagens realizadas pela espécie Hoss, mas a operação de multiplicação é muito menos natural. Para simplificar a adição de termos repetidos, isto é, como medida de economia de pensamento, de tempo, de espaço, etc., os espécimes de Hoss inventaram a multiplicação. Assim, vemos que há uma assimetria entre a adição e a multiplicação já na sua origem. Entretanto, os monóides aditivo e multiplicativo áN, +, 0ñ  e  áN, ×, 1ñ têm algumas semelhanças.

Por exemplo, ambos são semigrupos, isto é, ambos satisfazem a propriedade associativa:

a + (b + c) = (a + b) + c,

 a × (b × c) = (a × b) × c

 para quaisquer elementos a, b e c de N.

De passagem, observamos que as operações de adição e multiplicação convivem bem, isto é, a multiplicação distribui naturalmente em relação à multiplicação:

a × (b + c) = a × b + a × c

É natural, pois, perguntar se esses dois semigrupos não poderiam se juntar formando um único e mais amplo semigrupo.

Outra pergunta que se impõe imediatamente é a seguinte: existem outros semigrupos naturais no Universo?

Se algum espécime de Hoss quisesse fazer essa pesquisa, então como poderia proceder?

É difícil encontrar um caminho de investigação apenas abstratamente. Sigamos, portanto, um dos caminhos possíveis que é o caminho histórico.

Os matemáticos da espécie Hoss não podiam resolver a equação x + a = 0 no semigrupo áN, +, 0ñ. Descobriram que o problema era a falta de simetria nesse semigrupo. Ela pode ser observada ao se representar geometricamente os números naturais em uma reta. Os pontos ficam todos de um lado apenas do zero.Em outras palavras, uma semireta pode conter todos os números naturais e, portanto, uma reta tem uma metade supérflua.

Brotou, inesperadamente, uma idéia para continuar investigando a existência de outros semigrupos do Universo. Pode-se procurar resolver equações e representar geometricamente os novos conjuntos de números obtidos como forma de descobrir mais semigrupos no Universo.

Foi assim que os espécimes de Hoss chamados matemáticos criaram os negativos dos números naturais.   A representação geométrica dos números naturais tornou-se simétrica e toda equação do tipo x + a = 0 pôde ser resolvida pelos naturais negativos.

Todo natural “a” passou a possuir um negativo “- a” e, portanto, temos:

x + a = 0 Þ (x + a) + (-a)  = 0 + (-a)  Þ x + (a + (-a)) = -a Þ  x + 0 = -a Þ x = -a.

 O novo semigrupo é áZ, +, 0ñ, onde Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} foi chamado conjunto dos números inteiros. A letra Z foi emprestada da palavra número em alemão “zahlen”. 

A mente da espécie Hoss funciona de modo não linear e extremamente dinâmico. É imediato perguntar se o mesmo fenômeno não ocorre com o semigrupo multiplicativo áN, ×, 1ñ. Ou seja, a equação análoga x×a = 1 também não tem solução, a não ser no caso a = 1. Tão imediatamente quanto a pergunta aparecem vários problemas naturais e interessantes.

Para estender o semigrupo multiplicativo áN, ×, 1ñ para áZ, ×, 1ñ os matemáticos precisavam resolver os seguintes problemas interessantes.

(a) Como multiplicar inteiros negativos? A multiplicação continuaria baseada na economia de pensamento, de tempo e de espaço? Por exemplo, um negativo somado cinco vezes consigo próprio produz uma soma negativa e, portanto, um número positivo vezes um negativo produziria um produto negativo?

(b) Como poderiam conviver os dois semigrupos em uma única estrutura, digamos, áZ, +, 0, ×, 1ñ?

(c) Continuaria valendo a propriedade associativa?

A criatividade da espécie Hoss inventou uma solução simples: da mesma forma que os semigrupos áN, +, 0ñ  e  áN, ×, 1ñ podiam conviver naturalmente por meio da propriedade distributiva, a nova estrutura áZ, +, 0, ×, 1ñ não teria problemas em admitir essa mesma regra, e a multiplicação continuaria a economizar pensamento, tempo e espaço. 

Entretanto, havia um preço a pagar. Por exemplo, consideremos a igualdade (1 – 1) × (1 – 1) = 0. Se for para valer as propriedades associativa e distributiva, então teremos:

 (1 – 1) × (1 – 1) = 0 Þ (1)×(1) + (1)×(–1) + (–1) ×(1) + (–1)×(–1) = 0  Þ 1 – 1 – 1 + (–1)×(–1) = 0

Þ – 1 + (–1)×(–1) = 0.

Vemos que um preço a pagar para realizar o desejo de ampliação dos semigrupos naturais e o de resolver equações é admitir que (–1)×(–1) tem que ser um número inteiro exatamente oposto a –1.

Ora, então (–1)×(–1) tem que ser 1. O restante da dívida a ser paga é a admissão de que

(–a)×(–b) = a×b,

como se pode ver pelo mesmo raciocínio acima. Portanto, “negativo vezes negativo tem que dar positivo”.

Todo ser recém nascido merece um nome. A nova estrutura áZ, +, 0, ×, 1, distributivañ, que acomoda em um mesmo ambiente os semigrupos naturais aditivo e multiplicativo, recebeu o nome de anel. Embora muito mais simétrica do que o semigrupo dos naturais, ela não é suficiente para  resolver equações x×a = b.

A curiosidade infinita do Hoss inventou, então, os inversos dos números inteiros: todo número inteiro a, exceto o zero, tem inverso multiplicativo a^-1. Surgiu, assim, um anel mais amplo: áQ, +, 0, ×, 1, distributivañ, o anel das frações.

A letra Q veio da palavra “quociente”, porque a expressão b×a^-1 foi interpretada como “b dividido por a”, ou seja, como a fração b/a.

Assim, toda equação x×a = b, com a ¹ 0, passou a ter solução no anel áQ, +, 0, ×, 1, distributivañ:

x×a = b Þ (x×a)×a^-1 = Þ x×(a×a^-1) = b×a^-1 Þ x×1 = b×a^-1 Þ  x = b×a^-1.

Os espécimes matemáticos costumam dizer que o semigrupo áZ, +, 0ñ é um grupo porque todo a tem inverso aditivo –a, ou oposto de a. Da mesma forma, o semigrupo áQ, +, 0ñ também é um grupo.

Quanto ao semigrupo áQ, ×, 1ñ, não se pode afirmar o mesmo, porque o 0 não tem inverso multiplicativo. A equação 0×a = 1 não tem solução em universos em que 0 ¹ 1, porque 0×a = 0 para todo a. 

Essa assimetria, portanto, não pode ser consertada porque o 0 não pode ter inverso multiplicativo, embora seu inverso aditivo, ou seja, seu oposto, seja ele mesmo.  

A pergunta que se impõe agora, naturalmente, é a seguinte: qual é a capacidade do anel das frações áQ, +, 0, ×, 1, distributivañ resolver equações, já que sua representação geométrica é simétrica e preencheu muito melhor a reta?